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QUESTIONS
la tangente de la différence de deux arcs en fonction des tangentes
de chacun d’eux, on a
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\phi ={\frac {(\operatorname {Tang} .\omega -\operatorname {Tang} .\theta )^{2}}{\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}\omega \right)\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}\theta \right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9255aefc61a9d324a393d8a92cffce39869b7e)
il viendra, en vertu des valeurs de
et ![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91269b39e0365a09f9bd446c7085ec09f98fc1fd)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\phi ={\frac {(x+fxf'x)^{2}}{\left(1+f'^{2}x\right)\left(x^{2}+f^{2}x\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48036f7eb337a8422402b07a59305e84e95d7e78)
Désignons, pour abréger, cette dernière fonction de
par
et faisons
Si
désigne l’abscisse qui répond au point
sera une petite quantité, dans l’hypothèse où le corps a été très-peu écarté de sa position d’équilibre ; de sorte que, si l’on développe
la fonction
suivant les puissances ascendantes de
au
moyen du Théorème de Taylor ; l’équation du mouvement deviendra,
en employant les fonctions prime, seconde, tierce, … de la
Théorie des fonctions analitiques,
![{\displaystyle 0={\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}-g\left(\operatorname {F} a+{\frac {\operatorname {F'} a}{1}}\alpha +{\frac {\operatorname {F''} a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots \right).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b101131389e69940399e73d6c8f8b3d9a6b6aa)
(2)
Cela posé, de la valeur de
on tirera celle de
; et,
comme d’ailleurs
il viendra, toutes réductions faites,
![{\displaystyle h+\xi ={\frac {xf'x-fx}{\sqrt {1+f'^{2}x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271977a7c9e5b60c95345b060e6ef7424c3d5315)
Si l’on désigne, pour abréger, le second membre de cette équation
par
on aura, à cause de ![{\displaystyle x=a+\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a5c27e935c57de19896a1e436a20f7619fea80)
![{\displaystyle h+\xi =\Phi a+{\frac {\Phi 'a}{1}}\alpha +{\frac {\Phi ''a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76940823ac0a06b9d45a0ffd8190c945a1e2bd5d)
ou bien simplement