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DES SECTIONS CONIQUES.

Il résulte de là que les sections coniques ont, généralement parlant, quatre foyers ; car, par l’élimination de $g,h,k,\lambda ,$ on parvient à deux équations du second degré entre $\alpha ,\beta$ et les coefficiens de la proposée.

Pour faire à l’ellipse l’application de cette analise nous prendrons son équation la plus simple, qui est, comme l’on sait,

${\frac {x^{2}}{A^{2}}}+{\frac {y^{2}}{B^{2}}}-1=0\,;$

on aura alors

$a\mathbf {F} ={\frac {1}{A^{2}}},\quad b={\frac {1}{B^{2}}}c=0,\quad a'=0,\quad b'=0,\quad d=-1\,;$

en sorte que les six équations ci-dessus deviendront

${\begin{alignedat}{2}1-g^{2}&={\frac {\lambda }{A^{2}}},&\alpha +kg&=0,\\1-h^{2}&={\frac {\lambda }{B^{2}}},&\beta +kh&=0,\\gh&=0,&\qquad \alpha ^{2}+\beta ^{2}-k^{2}&=-\lambda \,;\end{alignedat}}$

d’où l’on tirera ces deux systèmes de valeurs

${\begin{alignedat}{2}g&=0,&h&=0,\\h&={\frac {1}{B}}{\sqrt {B^{2}-A^{2}}},&\qquad g&={\frac {1}{A}}{\sqrt {A^{2}-B^{2}}},\\k&=B,&k&=A,\\\alpha &=0,&\beta &=0,\\\beta &=-{\sqrt {B^{2}-A^{2}}},&\alpha &=-{\sqrt {A^{2}-B^{2}}},\end{alignedat}}$

Or, comme $A$ est nécessairement plus grand ou plus petit que $B,$ il s’ensuit que, excepté le cas du cercle, pour lequel on a à la