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THÉORÈMES.

respectives en $\mathrm {T} ,t,t'\,;$ et les deux perpendiculaires $\mathrm {FN,FN'} ,$ jusqu’à leurs nouvelles intersections, en $\mathrm {P,P'} ,$ avec la circonférence $\mathrm {C} .$ Traçons enfin $n\mathrm {N} ,n\mathrm {N} ',\mathrm {F} t,\mathrm {F} t'.$

Puisque les angles $n,\mathrm {N} '$ du quadrilatère $n\mathrm {FN} 't'$ sont droits, ce quadrilatère est inscriptible au cercle ; donc

$Ang.\mathrm {F} t'n=Ang.\mathrm {FN} 'n={\tfrac {1}{2}}Arc.n\mathrm {NP} ',$

On prouverait pareillement que le quadrilatère $n\mathrm {FN} t$ est aussi inscriptible au cercle ; donc

$Ang.\mathrm {F} tn=Ang.\mathrm {FN} n={\tfrac {1}{2}}Arc.n\mathrm {N'P} .$

De ces valeurs des angles $\mathrm {F} t'n,\mathrm {F} tn$ du triangle $t\mathrm {F} t',$ on conclut

$Ang.t\mathrm {F} t'={\tfrac {1}{2}}Circ.\mathrm {NN'PP'} -{\tfrac {1}{2}}Arc.n\mathrm {NP'} -{\tfrac {1}{2}}Arc.n\mathrm {N'P} ={\tfrac {1}{2}}Arc.\mathrm {PQP'} .$

Supposons donc que, les tangentes $\mathrm {T} t,\mathrm {T} t'$ restant fixes, la tangente $tt'$ devienne mobile ; les perpendiculaires $\mathrm {FN,FN'}$ ne varieront pas, ni conséquemment l’arc $\mathrm {PQP} ',$ compris entre elles ; donc l’angle $t\mathrm {F} t'$ restera de la même grandeur, pour toutes les positions de la tangente mobile $tt'.$

La démonstration devient encore plus simple pour le cas de la parabole ; mais alors l’angle constant $t\mathrm {F} t'.$ devient précisément le supplément de l’angle $\mathrm {T}$ des deux tangentes fixes. On peut donc énoncer généralement ce théorème :

I. L’angle sous lequel on voit, de l’un des foyers d’une section conique, la partie d’une tangente mobile interceptée entre deux tangentes fixes est toujours constant, pour toutes les positions de cette première tangente. Dans le cas particulier de la parabole, cet angle constant est le supplément de l’angle formé par les deux tangentes fixes.