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Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/84

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PROBLÈME

intermédiaires équidistantes, le système de nos ordonnées pourra être exprimé par la double suite

(8)

où les termes correspondans, supérieurs et inférieurs, expriment une même ordonnée. Cela étant, après avoir mis pour dans (6), et retranché le résultat de (6) ; si, pour abréger, on fait

(9)

on aura la série

(10)

dans laquelle est visiblement l’intégrale prise entre les limites et , ou bien l’aire plane terminée par les ordonnées l’intervalle et l’arc de courbe intercepté. D’autre part, à cause de (4 et 8), on a

c’est-à-dire, que est la somme des aires de la suite des trapèzes rectilignes compris chacun entre deux ordonnées consécutives, l’axe des et la corde de l’arc intercepté ; et cela, dans toute l’étendue entre les limites Par les mêmes raisons, l’expression est la somme, prise entre les mêmes limites, des rectangles ayant pour hauteurs successives et même base somme qui serait évidemment plus petite que l’aire si la suite précédente était continuellement décroissante. Dans la même hypothèse, cette autre expression qui est celle de la somme des rectangles ayant pour hauteurs les ordonnées