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DE COMBINAISON.
Par un raisonnement tout-à-fait semblable, on prouvera que le
nombre des lignes de la quatrième colonne est
Si
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
est pair
![{\displaystyle \quad {\frac {m-4}{2}}-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81af89fb2a43a2684a51973e9721c7ff4b238f1)
ou
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots {\frac {m-10}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3825fb1b727ce1d62d9697551c58974f5d86b5d1)
Si
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
est impair
![{\displaystyle {\frac {m-5}{2}}-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a89633c842132899370176607a5dd7ad2f2f541)
ou
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots {\frac {m-11}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5779b375e29efa7c2f30a5a98c63a63baa8d6064)
que le nombre des lignes de la cinquième est
Si
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
est pair
![{\displaystyle \quad {\frac {m-6}{2}}-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca545cc451f56e42e1640a1fd65133a9546441b5)
ou
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots {\frac {m-14}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df83b974555f5432ff6a523c5ef156a11ce0eabd)
Si
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
est impair
![{\displaystyle {\frac {m-5}{2}}-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42006e1530cc999567a308382b845ffe242330b5)
ou
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots {\frac {m-13}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249c957055ba6ab4d8dff7c22d31960d620dbd95)
et ainsi de suite.
Il résulte de là que le nombre total des lignes de tout le tableau, c’est-à-dire, le nombre cherché, est
Si
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
est pair
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left\{(m-2)+(m-4)+(m-8)+(m-10)+(m-14)+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c59dabd53ce24e5cc6db00fdc1cdc6257ac914)
Si
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
est impair
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-5)+(m-7)+(m-11)+(m-13)+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66c62ea6bbb16541497ec10aaa59625fa4c98fc)
Pour être en état de sommer ces suites, il faut au moins
pouvoir assigner le dernier terme de chacune d’elles. Occupons-nous d’abord de la première ;
y étant pair ne peut être que
de l’une de ces trois formes
Dans le premier cas, il est évident que la dernière colonne n’aura
qu’une ligne qui sera
![{\displaystyle 2k,2k,2k,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960b3d9a1ea630212f10abaf06a1ba853533aece)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {m}{3}},{\frac {m}{3}},{\frac {m}{3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f47b28048ca808e8f34dc39aa5f94d678d49c)
la série aura donc
termes dont le dernier sera l’unité ou
cette série sera donc