Rien ne sera plus aisé, d’après cela, que d’assigner le centre de la section conique inscrite à un pentagone donné quelconque. Il ne s’agira en effet, pour cela, que de faire tour à tour abstraction d’un côté puis d’un autre côté du pentagone, et de construire, à chaque fois, la droite, lieu des centres des sections coniques qui touchent ses quatre autres côtés ; on obtiendra ainsi deux droites dont l’intersection sera le centre cherché ; on voit clairement par là que le problème ne saurait avoir qu’une solution.
Comme on peut obtenir cinq droites qui contiennent le centre demandé et que ce centre est unique, il s’ensuit que ces cinq droites doivent se couper au même point ; d’où résulte un élégant théorème sur le pentagone, que nous laissons au lecteur le soin de suppléer.
Lorsqu’une section conique est inscrite à un triangle, on peut toujours la considérer comme inscrite à un quadrilatère, pourvu que l’on regarde son point de contact avec l’un des côtés comme un quatrième sommet tel que les deux côtés du quadrilatère qui s’y terminent font entre eux un angle égal à deux angles droits ; on a donc ce théorème :
THÉORÈME. Le lieu géométrique des centres de toutes les sections coniques qui, étant inscrites à un même triangle, touchent l’un de ses côtés en un même point, est la droite qui passe par le milieu de ce côté et par le milieu de la distance du sommet opposé au point de contact commun.
Il sera donc très-facile d’assigner le centre de la section conique qui, étant inscrite à un triangle donné, touche deux côtés du triangle en des points donnés ; il ne s’agira pour cela, en effet, que de mener des droites par les milieux de ces deux côtés et par les milieux des distances des sommets opposés aux points de contact donnés ; ces deux droites se couperont au centre cherché.
Lorsqu’une section conique touche les deux côtés d’un angle, on peut toujours la considérer comme inscrite à un quadrilatère, pourvu que l’on regarde ses points de contact avec les deux côtés
