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FONCTIONNELLES.
![{\displaystyle \psi x={\sqrt[{3}]{abx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d8abeb7c6d4e9f72b767ba92ba4128f35ebf46)
Soit l’équation
![{\displaystyle a\left[\psi x+\psi \left(\operatorname {f} ^{2}x\right)\right]+b\left[\psi (\operatorname {f} x)+\psi \left(\operatorname {f} ^{3}x\right)\right]=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75745f782e17705e8fbee5b737fb504812a00c25)
dans laquelle nous supposons
les changemens successifs de
en
ne donneront jamais, outre cette équation, que la suivante :
![{\displaystyle a\left[\psi (\operatorname {f} x)+\psi \left(\operatorname {f} ^{3}x\right)\right]+b\left[\psi x+\psi \left(\operatorname {f} ^{2}x\right)\right]=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2232f1a999f3546079f5f3ee57ff65bea470b6ff)
et leur ensemble sera insuffisant pour l’élimination des trois fonctions ![{\displaystyle \psi (\operatorname {F} x),\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (\operatorname {f} ^{3}x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3fd475b019b3baaa876a6f9d72a0c3d846be23)
Mais, si la méthode est en défaut pour les équations fonctionnelles de cette classe, elles n’en sont pas moins résolubles, et présentent même cette circonstance remarquable que la valeur de
alors contient une fonction arbitraire de
Un petit nombre d’exemples suffira pour faire comprendre comment on peut parvenir à un tel résultat.
Proposons-nous, pour premier exemple, d’assigner l’équation de la courbe qui jouit de cette propriété que, de quelque manière qu’on y choisisse deux ordonnées telles que la somme de leurs abscisses soit constante et égale à
la somme de ces ordonnées soit elle-même constante et égale à
En désignant l’une de ces abscisses par
l’autre sera
et, si l’on prend pour équation de la courbe cherchée
la condition du problème conduira à l’équation fonctionnelle du second ordre
![{\displaystyle \psi x+\psi (a-x)=2b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be8bba8a78589cd643859ecce195b8c1af9f705)
qui se trouve dans le cas d’exception qui nous occupe. Pour la résoudre, nous lui substituerons la suivante :
![{\displaystyle \psi x+(1+k)\psi (a-x)+k\phi x=2b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3a9bcb3880527d6c20a17e18c627d9a873b6fc)