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INTÉGRALES
de sorte que, toutes les fois que l’on saura trouver cette dernière intégrale, on en déduira facilement la valeur complète de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Si, par exemple, on prend
![{\displaystyle X=x^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0509a9ad2b029ab5e8130ad79a0ddc9533688ac6)
on aura
![{\displaystyle y=\int e^{-bx}x^{n-1}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06ed0d320d943190e03936d8df5b18ba874e2b7)
dont l’intégrale entre
et
est
![{\displaystyle {\frac {1}{b^{n}}}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09335a27e416f6af23d3c0a3a79be12480ca99de)
donc
![{\displaystyle 2\phi (b)={\frac {1}{b^{n}}}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2189cdd88c9d1026b4e54eda1bb30dc3a4206435)
d’où
![{\displaystyle \quad \phi (b)={\frac {1}{2}}b^{-n}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17da3929d5f9b9fd1e5fa717ef04c48ce07ecabe)
et par conséquent
![{\displaystyle y=\left\{{\frac {1}{2}}\left(b+a{\sqrt {-1}}\right)^{-n}+{\frac {1}{2}}\left(b-a{\sqrt {-1}}\right)^{-n}\right\}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160dc17cc3bd58cca81a4f285ca17ed7d7e60c01)
Si l’on fait ensuite
![{\displaystyle b=k\operatorname {Cos} .t,\qquad a=k\operatorname {Sin} .t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f09645b40522c2276f84f35c577f7d711f2d701)
on aura
![{\displaystyle y=\int e^{-bx}x^{n-1}\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .ax={\frac {\operatorname {Cos} .nt}{k^{n}}}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x.\qquad \left\{{\begin{aligned}&x=0\\&x=\infty \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0dcf20c5c3494631c5e24c514b65baeeeb799ce)
on trouverait semblablement
![{\displaystyle y=\int e^{-bx}x^{n-1}\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .ax={\frac {\operatorname {Sin} .nt}{k^{n}}}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x\,;\qquad \left\{{\begin{aligned}&x=0\\&x=\infty \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5a06baff876d47eb5803bd683b1e3e7c3a0ae1)
et
conservant les mêmes valeurs que dans la formule précédente.
La même marche peut conduire à un résultat que je me crois fondé à regarder comme intéressant. Soit