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INSCRIT.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&b+c+d-a=A,\\&c+d+a-b=B,\\&d+a+b-c=C,\\&a+b+c-d=D\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f16281d7b530b89e1f25712228a9693aaf56c33)
il viendra finalement
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(a,d)=\operatorname {Sin} .(b,c)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2(bc+ad)}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f6e183415f6924088a4b55e2c7fa7531ebcb11)
(3)
L’aire du quadrilatère dont il s’agit étant la somme des aires de deux triangles, dont l’un a pour ses trois côtés
et l’autre pour les siens
en représentant ce quadrilatère par
on aura
![{\displaystyle Q={\frac {1}{2}}bc\operatorname {Sin} .(b,c)+{\frac {1}{2}}ad\operatorname {Sin} .(a,d)={\frac {1}{2}}(bc+ad)\operatorname {Sin} .(a,d)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e813f973ca93b0f0375bf48c7603e3afa5eae934)
c’est-à-dire, en substituant,
![{\displaystyle Q{\frac {1}{4}}{\sqrt {ABCD}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e13edaf64e7201a38287e47badbf98b053573f)
(4)
Si, dans cette expression, on suppose
elle devient
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c359cd02272199e1642ca35b1f66cdd80a35498)
qui est précisément celle de l’aire d’un triangle, en fonction de ses trois côtés[1].
- ↑ Sans connaître encore l’expression de l’aire d’un triangle en fonction de ses trois côtés, on peut prononcer, à l’avance, qu’elle en est une fonction symétrique ; attendu qu’avec les trois mêmes côtés donnés, on ne saurait former qu’un triangle donné. Mais, bien qu’avec les quatre mêmes côtés