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DÉFINIES.
![{\displaystyle \int e^{-m\zeta }z^{a+1}\operatorname {d} z=a!(a+1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0787c28ca1d1a687f61411d6826e8ac7d976f695)
donc, suivant notre notation,
![{\displaystyle (a+1)!=a!(a+1)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00df4d2f2df6f79f2993396ef8a541351a50f5bf)
(2)
or
donc
![{\displaystyle 1!=1.1,\quad 2!=1.1.2,\quad 3!=1.1.2.3,\ldots ,n!=1.2.3.\ldots n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55f297f625590c30025503e4a6720c32ef5dcf0)
En multipliant les deux membres de l’équation (1) par
et intégrant depuis
jusqu’à
on trouve
![{\displaystyle \int \int e^{-m(1+\zeta )}m^{a+b+1}z^{a}\operatorname {d} m\operatorname {d} z=a!b!\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cd4339d134fde1d6966b14a4716f6b31fa469a)
or, d’après l’équation (1), l’on a, entre les limites désignées,
![{\displaystyle \int e^{-m(1+\zeta )}m^{a+b+1}\operatorname {d} m=(a+b+1)!{\frac {1}{(1+z)^{a+b+2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d816959151d98d70a26f2c22e9c4ab1f770b9b04)
donc
![{\displaystyle \int {\frac {z^{a}\operatorname {d} z}{(1+z)^{a+b+2}}}={\frac {a!b!}{(a+b+1)!}}\quad {\begin{array}{|c|}\hline z=0\\z={\frac {1}{0}}\\\hline \end{array}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3830e2d34a4d6fc590e34360661e0e2042046fb)
(3)
Si l’on pose
on trouvera
![{\displaystyle a!=\int \left(\operatorname {l} {\frac {1}{x}}\right)^{a}\operatorname {d} x\quad {\begin{array}{|c|}\hline x=0\\x=1\\\hline \end{array}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1032ec3138bb0b9a106bbf5cef14f8e68bfe1e0a)
Si l’on pose, au contraire,
on trouvera
![{\displaystyle {\frac {z^{a}\operatorname {d} z}{(1+z)^{a+b+2}}}=x^{a}(1-x)^{b}\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc919c733a920ed7c5afc9d226f1a6345a39a45)
d’où