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PARALLÉLISME DES LIGNES
Soient
les coordonnées de la courbe donnée,
celle de la courbe cherchée, et à la longueur commune des normales à la première terminées à la seconde. Soit
un point de la première courbe ; et soit
le point correspondant de la seconde ; l’équation de la normale à la première courbe, au point particulier que l’on considère sera, comme l’on sait,
![{\displaystyle (x-x')+(y-y'){\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8063281d166ffdf88c6ae4403367437abe0125fd)
puis donc que le point
est sur cette normale, et à une distance
de son point de départ, on doit avoir, à la fois,
![{\displaystyle (t'-x')+(u'-y'){\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=0,\qquad (t'-x')^{2}+(u'-y')^{2}=k^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c672fc12952dc336cecdf7b48521d37edf46b19)
ou, en supprimant les accens, désormais inutiles,
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}(t-x)+(u-y){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad &(1)\\\\(t-x)^{2}+(u-y)^{2}=k^{2},\qquad &(2)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0414c9cd47927231cb44af246967309141912c4c)
équations qui résolvent le problème.
Si, en effet, on veut mener à une courbe, donnée par une équation en
et
une courbe parallèle qui en soit distante de la quantité
de la différentielle de l’équation donnée, on tirera la valeur de
pour la substituer dans l’équation (1), ce qui donnera une première équation finie entre
l’équation (2) en sera une seconde, et la proposée sera la troisième. Éliminant donc
entre ces trois équations, l’équation résultante en
et
sera celle de la courbe cherchée.
Pour premier exemple ; supposons que la ligne donnée, à