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ÉQUATIONS
![{\displaystyle \psi ({\frac {1}{x}})-a\psi (x)=e^{\frac {1}{x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698bc7a94cdf7a581f27231fc108bc8a9330668c)
et, en éliminant
entre l’une et l’autre, il viendra
![{\displaystyle \psi (x)={\frac {e^{x}+ae^{\frac {1}{x}}}{1-a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00708a72cdd8675076402c686841e4b2f423466)
Soit encore l’équation
![{\displaystyle (\psi x)^{2}.\psi {\frac {1-x}{1+x}}=c^{2}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d36ad8d34e4ba5f1e624296b401a0347f8604e6)
où
est également fonction périodique du second ordre ; en y changeant
en
elle deviendra
![{\displaystyle \left(\psi {\frac {1-x}{1+x}}\right)^{2}.\psi x=c^{2}{\frac {1-x}{1+x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30714bd4ca02a95a066f0d06b51db36110222b8)
éliminant ensuite
entre ces deux équations, on tirera de l’équation résultante
![{\displaystyle \psi x={\sqrt[{3}]{c^{2}x^{2}{\frac {1+x}{1-x}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d644359d75280629ec7388345ff4e6c536f27188)
Dans la vue de rendre le calcul plus facile, M. Babbage a souvent recours à des transformations dont un peu d’habitude de ce genre de calcul apprend bientôt à faire usage. Soit, par exemple, l’équation
![{\displaystyle {\frac {\psi x}{\psi x-x}}+x{\frac {\psi (1-x)}{\psi (1-x)-(1-x)}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0583bead5d2911e9072ffdb519b7f82730daf98)
au lieu de la traiter immédiatement, comme les précédentes, posons