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QUESTIONS
![{\displaystyle A_{0}+A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x\right)+\ldots \quad \mathrm {(} 4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d10e379e10e20a8077f098ff269daf7e2ceaa8)
et
![{\displaystyle \operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c2a46db58086212675564fb2f010434ca84444)
pour la somme de la série
![{\displaystyle A_{0}+A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x\right)+\ldots \quad \mathrm {(} 5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55041ccaf26c249f0b11e19fb05ef51e598536c5)
or, la série (2) est la somme des séries (4, 5) divisée par
et la série (3) est la différence de ces mêmes séries, divisée par
donc la somme de la série (2) doit être la somme des séries (4, 5) divisée par
et la série (3) doit être la différence de ces mêmes séries, divisée par ![{\displaystyle 2{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751ebf6231b20277a1fdb65c4c396e6a76d40537)
L’application à la série proposée est facile ; on a, comme l’on sait,
![{\displaystyle e^{a}=1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c30f99e00a84e6ce201a264c0016e9b14c74cc)
donc
donc la somme de la série
![{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511d1e3da40f45bbdfd1469137baa1a1d1cf02e0)
sera, d’après ce qui précède,
![{\displaystyle S={\frac {e^{a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}+e^{a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746d807295341f63fd30d1d129fde77e8e48a534)
ou
![{\displaystyle S={\frac {e^{a\operatorname {Cos} .x}\left(e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\right)}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec767a3ab8f6bb84bf9afea9d38a1756c3b5399)
c’est-à-dire