Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/301

293

RÉSOLUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

que, poursuivant son maître, il nage depuis un temps illimité : auquel cas on pourra concevoir une certaine époque où la droite qui le joint à son maître deviendra ou aura été perpendiculaire au bord du canal parcouru par celui-ci, c’est-à-dire à l’axe des $y.$ Prenons donc cette époque pour origine des temps ; supposons qu’alors la distance du chien à son maître soit $a,$ cette longueur se confondra avec l’axe des $x$ et il est d’abord clair que, pour $t=0,$ la distance du maître à l’origine devra être nulle : puis donc que cette distance est, en général $B+gt,$ on devra avoir $B=0\,;$ donc, en vertu de l’équation (3) on aura aussi alors $\operatorname {Tang} .z=0\,;$ d’après quoi l’équation (8) deviendra

$\left({\frac {a}{A}}\right)^{n}=1,\quad$d’où$\quad A=a\,;$

on aura donc, quel que soit $x,$

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}=\operatorname {Tang} .z+{\sqrt {1+\operatorname {Tang} .^{2}z}}.\qquad$(9)

En faisant évanouir le radical du second membre de cette équation, on en tire

$\operatorname {Tang} .z={\frac {\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}-\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}{2}},\qquad$(10)

d’où

$\operatorname {Sin} .z={\frac {\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}-\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}},\qquad \operatorname {Cos} .z={\frac {2}{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}}.\qquad$(11)

Pour parvenir présentement à l’équation différentielle de la trajectoire, éliminons d’abord d’entre les équations (4) ; il viendra ainsi

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {k\operatorname {Sin} .z-h}{k\operatorname {Cos} .z}}\,;\qquad$(12)

ou, en y mettant pour $\operatorname {Sin} .z$ et $\operatorname {Cos} .z$ les valeurs déterminées ci-dessus