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RÉSOLUES.
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(a,d)={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},\qquad \operatorname {Cos} .(a,b)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a7f49b261ccd38be41ad5cc65e0e5aed08e478)
Mais les prolongemens des côtés opposés
et
forment avec le côté
un triangle dans lequel l’angle opposé à ce côté
est précisément l’angle cherché
de deux côtés opposés ; en supposant donc, pour fixer les idées,
nous aurons
![{\displaystyle (b,d)=\varpi -\left[(a,d)+(a,b)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3ad2f5507389afbb4205431047aaf91cb7b293)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(b,d)=\operatorname {Sin} .\left[(a,d)+(a,b)\right]=\operatorname {Sin} .(a,d)\operatorname {Cos} .(a,b)+\operatorname {Sin} .(a,b)\operatorname {Cos} .(a,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdcd98f5e1c33a9a908fe511d4341c7ec198983f)
ce qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(b,d)={\frac {\left[\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)+\left(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\right]{\sqrt {ABCD}}}{4(ad+bc)(ab+cd)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983c88ac6b47d31f9cc1f6bbc3ce374a47dafd90)
ou, en réduisant
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(b,d)={\frac {\left(a^{2}-c^{2}\right){\sqrt {ABCD}}}{2(ad+bc)(ab+cd)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07776d01da1ec2eea4339f1df65c236f1aab101)
tel est le sinus de l’angle des deux côtés opposés
et
on trouverait de même
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(a,c)={\frac {\left(b^{2}-d^{2}\right){\sqrt {ABCD}}}{2(ad+bc)(ab+cd)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b311037a712321741f97b5b62e847b9db0a114)
Si l’on cherche les cosinus des mêmes angles, on trouvera
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(b,d)=\operatorname {Sin} .(a,b)\operatorname {Sin} .(a,d)-\operatorname {Cos} .(a,b)\operatorname {Cos} .(a,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32e1a13cef7a0be51e99f75334d451b15edd397)
ou, en substituant,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(b,d)={\frac {ABCD-\left(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)}{4(ab+cd)(ad+bc)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1cf9db870197731a99fdb75eceb32108b20cc5)
ou, en développant et réduisant