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INTÉGRALES
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)'''+\ldots ,\\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'''+\ldots ,\end{aligned}}\right\}.\ (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5669df221448677024d33dec6fb6e1cd78a395e2)
lesquelles seraient deux équations distinctes en
et
si
et
étaient des fonctions déterminées de
de sorte qu’il faudrait éliminer
entre leurs intégrales pour parvenir à la relation cherchée entre
et
mais, comme ce n’est réellement que par une sorte de fiction que
et
sont considérés comme des fonctions de
et que ces fonctions demeurent absolument indéterminées, il arrivera que les deux équations (6) devront admettre un facteur commun qui, égalé à zéro, sera de même forme qu’une équation primitive en
et
seulement qu’on aurait différentiée une ou plusieurs fois, en y considérant
et
comme des fonctions de
et par conséquent en y faisant varier
aussi bien que
en posant donc, dans cette équation,
d’où ![{\displaystyle x'=1,\ x''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67991f9bd6012ce2cf081c15f06e848ba0938436)
on aura, sous forme différentielle, la relation cherchée entre
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
62. Marquons présentement des indices
et
ce que doivent devenir, aux deux limites de l’intégrale, toutes les diverses quantités dont se compose l’équation (5) ; cette équation devant avoir lieu à ces deux limites, domine dans tout le reste de l’intégrale, on devra avoir, à la fois,
![{\displaystyle Const.=\left\{{\begin{aligned}&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}''-\ldots \right]X_{0}\\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}'+\ldots \right]X_{0}'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}-\ldots \right]X_{0}''+\ldots \\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}''-\ldots \right]Y_{0}\\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}'+\ldots \right]Y_{0}'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}-\ldots \right]Y_{0}''+\ldots \\\\\end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e66c6ddce568f217ab3745ebcda0ddff0c9944d)