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INTÉGRALES
fixes, ni absolument indéterminées. On peut exiger, par exemple, qu’à la première limite, on ait, entre
et leurs coefficiens différentiels, une ou plusieurs équations de relation, telles que
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,x',x'',\ldots ,y,y',y'',\ldots ,z,z',z'',\ldots )=L=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffeb5d2437d0bfa713136bc374e93395bd962c37)
il en résultera l’équation
![{\displaystyle 0=\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{0}X_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}X'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}X''_{0}+\ldots \\\\+&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{0}Y_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}Y'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}Y''_{0}+\ldots \\\\+&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{0}Z_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z'}}\right)_{0}Z'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z''}}\right)_{0}Z''_{0}+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;\quad (21)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ffde4c5aebcf524bce538c94336297ef817d4b)
et on pourra en avoir d’analogues pour l’autre limite. On ajoutera alors à l’équation (19) les produits de ces équations par des multiplicateurs indéterminés ; égalant ensuite à zéro dans l’équation somme, les coefficiens des diverses fonctions ![{\displaystyle X,X',X'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcae12b6b3e32d98444ac82be1521b0387cbc940)
et éliminant enfin les multiplicateurs indéterminés entre les équations résultantes, il en résultera des équations qui, conjointement avec
![{\displaystyle L_{0}=0\qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b415b54ea058aea2e170ca82650327d9bd22e04b)
(22)
et ses analogues, serviront à déterminer les constantes.
77. Appliquons présentement ces procédés à divers exemples.
PROBLÈME VIII. Quelle est la plus courte ligne entre deux points de l’espace ?
Solution. Soient
les deux points donnés ; nous aurons ici
et par conséquent