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INDÉTERMINÉES.
79. PROBLÈME X. Quelle est, dans l’espace, la plus courte ligne d’un point donné à une courbe donnée quelconque ?
Solution, Soit encore, comme ci-dessus,
le point donné, et soient
les deux équations de la courbe dont il s’agit ; nous aurons encore, comme dans le précédent problème, pour les équations générales de la ligne demandée
![{\displaystyle x-a_{0}=M(z-c_{0}),\qquad y-b_{0}=N(z-c_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4747bf8c505621f3789448ca35bed31b1c5801a)
et pour l’équation aux limites
![{\displaystyle MX_{1}+NY_{1}+Z_{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73142a2917d59d9c77bc174cfd0783a1c39f9f87)
en lui ajoutant les produits respectifs des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} K}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}X_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} K}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}Y_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} K}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}Z_{1}=0,\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}X_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}Y_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}Z_{1}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd211cf11e886b9663fd7c6b452742bb5bfb6c98)
par des multiplicateurs indéterminés
et
et égalant séparant à zéro, dans l’équation somme, les coefficiens de
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}M+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} K}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}+\mu \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}=0,\\\\N+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} K}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}+\mu \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}=0,\\\\1+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} K}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}+\mu \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75c4f1234d27e95fb1463bb3bc97d9bd67f0fef)
d’où on conclura, par l’élimination de
et ![{\displaystyle \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7e1ef161a49a22b500d63307460ad92eeb6a16)