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INTÉGRALES
![{\displaystyle {\begin{array}{l}&{\frac {x''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-x'(x'x''+y'y''+z'z'')}{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)}}\\\\=&{\frac {y''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-y'(x'x''+y'y''+z'z'')}{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)}}\\\\=&{\frac {z''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-z'(x'x''+y'y''+z'z'')}{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a77a9515d4314c815528b8dd367ca621445c470)
Telles seront donc alors les deux équations différentielles de la ligne cherchée ; et il est aisé de se convaincre, comme nous l’avons annoncé (72), que, eu égard à l’équation
elles n’équivalent qu’à une seule ou, ce qui revient au même, qu’elles comportent cette équation. Si, en effet, on différentie l’équation
en y considérant
comme des fonctions de
il viendra
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)x'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)y'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)z'=0\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ad6ef028084425feb42a5b52b9a5423a2cb83f)
or, si l’on substitue dans cette dernière équation les valeurs de
tirées des deux premières, et qu’on supprime ensuite le facteur
commun à tous les termes de l’équation résultante, cette équation sera tout-à-fait identique.
La double équation de la courbe cherchée donne, en réduisant,
![{\displaystyle \left\{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)x'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)z'\right\}(z'x''-x'z'')-\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)y'(y'z''-z'y'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2c04f8eaf96da639745cefaedd9d29c07cdb71)
![{\displaystyle =\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)y(x'y''-y'x''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e4bc2e8bdef91162c4b8d8bc4b5a2fdf51b14c)