Soient présentement
le pôle et
le rayon sphérique du cercle inscrit, on sait que si de ce point on conduit des arcs de grands cercles aux trois sommets, ces arcs diviseront les angles du triangle en deux parties égales. Si en outre on désigne par
les points de contacts respectifs avec les côtés, on aura
![{\displaystyle A''B+A''C=a,\qquad B''C+B''A=b,\qquad C''A+C''B=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8565379a104435222f1b675aac5640086de73e)
d’où, en retranchant la première équation de la somme des deux autres,
![{\displaystyle AB''+AC''+BC''-BA''+CB''-CA''=b+c-a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6ca5aa96042fe98ee3be6ba20505e1b267a185)
mais on a ici
![{\displaystyle AB''=AC'',\qquad BC''=BA'',\qquad CB''=CA''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4618f895010ee0dc3ed5c97754146b44712b38f8)
réduisant donc, à l’aide de ces relations, il viendra
![{\displaystyle 2AB''=2AC''=b+c-a=2(s-a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80855bc83a8ddb9566895e37f64b56d5ddc10e62)
d’où
![{\displaystyle AB''=s-a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed650b1dfc9092aaa33a5291bdd584d2d83bf4c)
mais le triangle sphérique rectangle
donne
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .oB''=\operatorname {Sin} .AB''\operatorname {Tang} .oAB''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969deaf9ffc8fc41fdbf8126c085f34810a2ddf2)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .r=\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .(s-a)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e5a529880ad1c7c32f17094f4ac06c53c571a8)
(
XLIII)
ou bien (xiv)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .r={\frac {\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623020be08dc20ab8e9df96c6b19cf96ef354789)
(
XLIV)
ou encore (VIII)