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Théorème de M. Gergonne.

Si, par les extrémités $\mathrm {A,B}$ de la base $\mathrm {AB}$ d’un triangle quelconque $\mathrm {ACB}$ (fig. 8), on mène vers son sommet des droites de longueur arbitraire $\mathrm {AP}$ et $\mathrm {BQ,}$ respectivement parallèles aux côtés $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {CA} \,;$ que par les points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ on mène, parallèlement à $\mathrm {BQ}$ et $\mathrm {AP,}$ des droites concourant en $\mathrm {D} \,;$ les trois droites $\mathrm {AQ,BP}$ et $\mathrm {DC}$ concourront en un même point.

Démonstration. Nous démontrerons ce théorème à l’aide de la géométrie analitique, parce que c’est ainsi qu’après en avoir pressenti la vérité, nous nous le sommes démontré à nous-même, et parce qu’à tout prendre, cette forme de démonstration en vaut bien une autre.

Soient faits $\mathrm {CA} =a,\ \mathrm {CB} =b,\ \mathrm {AP} =q,\ \mathrm {BQ} =p.$ Soit pris l’angle $\mathrm {ACB}$ pour angle des coordonnées positives, de manière que l’axe des $x$ soit dirigé suivant $\mathrm {CA,}$ et l’axe des $y$ suivant $\mathrm {CB} \,;$ les équations des divers points que nous venons de considérer seront

Pour C$\left\{{\begin{aligned}&x=0,\\&y=0\,;\end{aligned}}\right.\qquad$Pour A$\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=0\,;\end{aligned}}\right.\qquad$Pour B$\left\{{\begin{aligned}&x=0,\\&y=b\,;\end{aligned}}\right.$

Pour P$\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=-q\,;\end{aligned}}\right.\quad$Pour Q$\left\{{\begin{aligned}&x=-p,\\&y=b\,;\end{aligned}}\right.\quad$Pour D$\left\{{\begin{aligned}&x=-p,\\&y=-q\,;\end{aligned}}\right.$

avancé à la page 147 du même volume, que personne avant lui n’avait découvert la loi de la série qui donne la longueur de la tangente en fonction de l’arc correspondant, attendu que ce sujet a été traité, avec tous les développemens désirables par M. Lacroix, dans son Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, 2.^e édition, tom. I, pages 254-257, n.^os 90-93. Nous nous empressons de réparer ces omissions et ces erreurs, que nous eussions mieux fait de signaler en leur lieu, en mentionnant ici les remarques de M. Querret.

J. D. G.