![{\displaystyle Z_{2,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}.{\frac {x_{1}-1}{s-1}}+{\frac {x_{2}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca651e65ec9e7670910608c9235294d696b8ff8)
![{\displaystyle Z_{3,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}Z_{2,x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}+{\frac {x_{2}}{s}}.{\frac {x_{1}}{s-1}}+{\frac {x_{3}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd525436c908618e0548746d290d2434a9153b3)
et de même, au moyen de celles-ci, on obtiendrait
![{\displaystyle Z_{3,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}.{\frac {x_{1}-1}{s-1}}.{\frac {x_{1}-2}{s-2}}+2{\frac {x_{2}}{s}}.{\frac {x_{1}}{s-1}}+{\frac {x_{3}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77f7f5a9895576d430063af9fb7ffbe987d34b0)
et ainsi de suite.
De cette manière, on calculera aisément la probabilité demandée, lorsque
sera un petit nombre ; mais le calcul deviendra impraticable, dès que ce nombre sera un peu considérable ; et il faudra alors recourir à l’intégrale générale de l’équation (1). Cette équation linéaire a ses coefficiens variables ; néanmoins, si l’on multiplie tous ses termes par
ses coefficiens ne renfermeront les variables qu’au premier degré ; circonstance d’après laquelle il sera possible d’intégrer l’équation (1) par le moyen des intégrales définies. Mais cette méthode ne conduirait que très-difficilement à la solution du problème que nous nous sommes proposé ; c’est pourquoi nous nous bornerons à vérifier que la solution que nous avons trouvée satisfait à l’équation (1).
4. Soit, pour y parvenir,
![{\displaystyle \Sigma t^{x}Z_{x,x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5803992aa05730d25ebd4958ac2072c1dd76cce)
indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs entières et positives de
y compris
et jusqu’à
Les valeurs