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$\mathrm {M}$ projeté en $\mathrm {M'}$ dans la figure ci-contre. Par ce point, concevons le plan normal à l’axe, et rencontrant cet axe au point $\mathrm {P}$ ; ce plan est perpendiculaire à celui de la figure qu’il rencontre suivant la ligne $\mathrm {M'P}$.

Soient, en conservant d’ailleurs les notations de l’article précédent,

$s$ la longueur de l’axe, comprise entre le point $\mathrm {P}$ et un point fixe du même axe, pris du côté de la source ;

$y$ la distance $\mathrm {M'P}$ entre la molécule considérée et la ligne horizontale menée par l’axe dans le plan de la section transversale, laquelle ligne est projetée en $\mathrm {P}$ ;

$\gamma$ l’angle formé avec l’horizon par la direction de l’axe au point $\mathrm {P}$, ou, ce qui est la même chose, par la direction de la vitesse du courant au point $\mathrm {M}$ ;

$p$ la pression du fluide au point $\mathrm {M}$ ;

$t$ le temps à partir d’un instant quelconque.

Je décompose la gravité qui agit sur le fluide au point $\mathrm {M}$ en deux forces : l’une perpendiculaire à la direction de la vitesse, suivant l’ordonnée $y$, et qui sera $g\cos \ \gamma$ ; l’autre dans le sens du mouvement, et qui sera $g\sin \ \gamma$. Ainsi les forces accélératrices appliquées au fluide, sont :

dans la direction du mouvement$\dots \dots \dots \dots$$g\sin \ \gamma -{\frac {g\chi }{\omega }}\ (av+bv^{2}),$

et perpendiculairement au mouvement$\dots \dots$$g\cos \ \gamma .$

Maintenant j’observe qu’attendu le mouvement sensiblement rectiligne du fluide, les molécules qui passent au point $\mathrm {M}$ se meuvent comme si elles étaient sollicitées par une seule force accélératrice agissant dans la direction du mouvement, et égale à ${\frac {dv}{dt}}$ ; et, en vertu du principe général de Dynamique, la pression $p$ est précisément celle qui aurait lieu dans l’état d’équilibre du fluide soumis aux forces accélératrices appliquées réellement, et à la force ${\frac {dv}{dt}}$ dirigée en sens contraire du mouvement.

Appliquant en conséquence les principes de l’équilibre des fluides, on aura les deux équations différentielles partielles