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Le principe de l’espérance totale nous conduit donc à la relation ou, en faisant les réductions,

$\int _{m+h}^{\infty }\varpi (x-m-h)\,\mathrm {d} x-\int _{m}^{m+h}\varpi (m+h-x)-h\int _{-\infty }^{m}\varpi \,\mathrm {d} x=0$,

ou, en faisant les réductions,

$h+m\int _{m}^{\infty }\varpi \,\mathrm {d} x=\int _{m}^{\infty }\varpi x\,\mathrm {d} x$.

Cette équation aux intégrales définies établit une relation entre l’écart et l’importance d’une prime.

39. Si, dans cette équation, on remplace $\varpi$ par sa valeur,

$\varpi ={\frac {1}{2\pi a}}\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{4\pi a^{2}}}}$,

et si l’on développe l’intégrale en série, on obtient

$h-a+{\frac {m}{2}}-{\frac {m^{2}}{4\pi a}}+{\frac {m^{4}}{96\pi ^{2}a^{3}}}-{\frac {m^{6}}{1920\pi ^{3}a^{5}}}+\ldots =0$.

Cette formule, qui exprime la loi des écarts de prime, fournit une relation entre l’importance $h$ de la prime, son écart ${m+h}$, et l’importance $a$ de la prime simple relative à la même échéance ; elle permet donc de calculer l’une quelconque de ces quantités quand on connaît les autres.

Si, par exemple, $m$ et ${m+h}$ sont connus, la série précédente permet de déterminer $a$.

40. Pratiquement, l’importance de la prime est toujours comprise entre ${\frac {a}{3}}$ et $3a$. Il en résulte que l’on peut, dans la formule précédente, supprimer les termes en $m^{6}$ et en $m^{4}$. On obtient ainsi

$a={\frac {\pi (2h+m)+{\sqrt {\pi ^{2}(2h+m)^{2}-4\pi m^{2}}}}{4\pi }}$.

Avec cette même approximation on aura pour valeur de $m$ en