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deuxième partie. — la relativité généralisée.

elle exprime la conservation de $t_{\beta }^{\alpha }.$ Pour le montrer, revenons à un Univers euclidien ; intégrons (33) dans un volume déterminé par les coordonnées d’espace, nous obtenons, $x_{4}$ étant la coordonnée de temps,

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\!\iiint t_{\beta }^{4}\,dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}&=-\!\iiint \!\left({\frac {\partial t_{\beta }^{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial t_{\beta }^{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial t_{\beta }^{3}}{\partial x_{3}}}\right)dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}\\&=\quad \;\iint \;\left(t_{\beta }^{1}a_{1}+t_{\beta }^{2}a_{2}+t_{\beta }^{3}a_{3}\right)\,d\mathrm {S} ,\end{aligned}}

$a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3}$ étant les cosinus directeurs de la normale (intérieure) à l’élément $d\mathrm {S}$ de la surface $\mathrm {S}$ qui limite le domaine d’intégration. Si $t_{\beta }^{\alpha }$ s’annule sur la surface, l’intégrale de volume de $t_{\beta }^{4}$ reste constante lorsque $x_{4}$ varie. Elle reste constante dans le temps, c’est-à-dire qu’elle obéit à une loi de conservation^[1].

Les grandeurs $t_{\beta }^{\alpha }$ ont été appelées par Einstein « composantes d’énergie » du champ de gravitation.

Autre forme de la loi de la gravitation. — Nous pouvons maintenant donner à la loi de la gravitation $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ une forme nouvelle qui sera utile dans la suite. Multiplions par $g^{\nu \sigma }$ les termes de $\mathrm {R} _{\mu \nu },$ nous avons

(34-14)

g^{\nu \sigma }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}=g^{\nu \sigma }{\begin{Bmatrix}\mu \beta \\\alpha \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}.

Le premier membre s’écrit

(35-14)	$g^{\nu \sigma }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}$	$={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left(g^{\nu \sigma }{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\right)$	$-\;{\frac {\partial g^{\nu \sigma }}{\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}$
		$={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left(g^{\nu \sigma }{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\right)$	$+\;g^{\nu \beta }{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}$
			$+\;g^{\sigma \beta }{\begin{Bmatrix}\beta \alpha \\\nu \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\cdot$

↑ Ce résultat relatif à $t_{\beta }^{\alpha }$ envisagé seul est purement théorique, car, dans un champ de gravitation permanent, il y a nécessairement de la matière quelque part et les équations ${\frac {\partial t_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=0$ ne sont pas valables aux points où il y a de la matière. Nous verrons plus loin que la loi réelle de conservation (avec ${\sqrt {-g}}=1$ ) est ${\frac {\partial \left(t_{\beta }^{\alpha }+\mathrm {T} _{\beta }^{\alpha }\right)}{\partial x_{\alpha }}}=0,$ $\mathrm {T} _{\beta }^{\alpha }$ étant le tenseur impulsion-énergie de la matière.

[1] Ce résultat relatif à $t_{\beta }^{\alpha }$ envisagé seul est purement théorique, car, dans un champ de gravitation permanent, il y a nécessairement de la matière quelque part et les équations ${\frac {\partial t_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=0$ ne sont pas valables aux points où il y a de la matière. Nous verrons plus loin que la loi réelle de conservation (avec ${\sqrt {-g}}=1$ ) est ${\frac {\partial \left(t_{\beta }^{\alpha }+\mathrm {T} _{\beta }^{\alpha }\right)}{\partial x_{\alpha }}}=0,$ $\mathrm {T} _{\beta }^{\alpha }$ étant le tenseur impulsion-énergie de la matière.

[1]