posées à la fin du 18e siècle[1]. Appelons substitution et désignons par une lettre telle que (S), (T), … l’opération consistant à changer une quantité (indéterminée) x en f(x) [f(x) étant une certaine fonction de x]. Autant de fonctions f(x), autant de substitutions. Or on peut considérer la substitution obtenue en opérant successivement une substitution (S), puis une substitution (T) comme constituant le produit de ces deux substitutions. D’une manière analogue, on peut définir les puissances positives ou négatives d’une substitution. On envisage, d’autre part, certains ensembles remarquables de substitutions que l’on appelle groupes. L’étude de ces groupes et l’ensemble des calculs auxquels ils donnent lieu, forme une algèbre spéciale que l’on peut rendre entièrement indépendante de la définition quantitative des substitutions par des fonctions, et qui a été utilisée avec grand profit dans des ordres de recherches extrêmement variés.
Arrêterons-nous là notre revue des applications mathématiques de la synthèse algébrico-logique ? Les grandeurs et les opérations sont-elles les seuls éléments mathématiques que l’on puisse grouper et combiner ? Non, certes. Il est autre chose qui est continuellement objet de combinaison dans le système des mathématiques, comme d’ailleurs dans toutes les sciences fondées sur le raisonnement : c’est la proposition, — la proposition logique, — soit que celle-ci formule une définition, soit qu’elle énonce un axiome ou un théorème. Toute notion secondaire nouvelle est obtenue par combinaison des notions premières fournies par les définitions. Tout
- ↑ La notion de groupe fut mise à profit par Cauchy dans les premières année du xixe siècle. C’est sur elle que reposent, d’autre part, les travaux de Galois (1811-1832) relatifs aux racines des équations algébriques.
