facilement les relations des quantités qui composent le premier, nommons ce nouvel état du système, système auxiliaire.
Concevons enfin que ce système auxiliaire s’approche graduellement du système fixe, de sorte que toutes les quantités auxiliaires qui composent le premier s’approchent simultanément des quantités désignées qui leur correspondent dans le système fixe, tellement qu’on soit maître de supposer leurs différences respectives toutes en même temps aussi petites qu’on le veut ; ces différences respectives seront ce que nous avons appelé quantités infiniment petites (14).
Comme les quantités de ce second système sont purement auxiliaires, elles ne peuvent entrer dans le résultat du calcul, puisque ce résultat n’est que l’expression des relations qui existent entre celles qui composent le premier ; d’où il suit que les quantités infiniment petites dont nous venons de parler et toutes leurs fonctions, doivent nécessairement se trouver exclues de ce même résultat.
23. Maintenant je me demande ce qui serait arrivé, si dans le cours du calcul on eût rencontré une quantité constante et une de ces quantités infiniment petites ajoutées ensemble ; et qu’en considérant que cette dernière peut être supposée aussi petite qu’on le veut, tandis que l’autre ne change pas, on l’ait négligée pour simplifier le calcul, comme de nulle importance vis-à-vis de la première.
La conclusion naturelle serait sans doute que l’erreur occasionnée ainsi pourrait toujours être rendue aussi petite qu’on le voudrait, en diminuant de plus en plus la valeur arbitraire de la quantité négligée.
Mais pour cela il faut que cette valeur arbitraire elle-même ou quelques-unes de ses fonctions entrent dans le résultat de ce calcul ; autrement elle n’aurait sur lui aucune influence, et ne pourrait par conséquent servir à le rectifier par sa diminution successive.
Donc, si elle ne s’y rencontre pas, c’est une preuve que l’erreur se sera rectifiée d’elle-même, car d’après la marche du calcul, si elle subsistait encore, elle ne pourrait être qu’infiniment petite : or elle ne peut être telle, puisqu’il n’y a point
