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peu différentes l’une de l’autre, leurs différentielles différeront aussi entre elles infiniment peu ; et réciproquement, si deux quantités différentielles sont infiniment peu différentes l’une de l’autre, leurs intégrales, abstraction faite de la constante, ne peuvent aussi différer l’une de l’autre qu’infiniment peu.

80. C’est sur ces principes qu’est fondée l’application des règles du calcul intégral. Soit, par exemple (fig. 8), AMNR, une courbe dont on veuille trouver l’aire, c’est-à-dire la surface AMP, comprise entre l’arc AM de cette courbe, son abscisse AP et son ordonnée MP.

Si l’on conçoit que l’abscisse AP ou x augmente de la quantité infiniment petite PQ ou dx, l’aire cherchée de la courbe augmentera du petit trapèze mixtiligne MNQP ; ce petit trapèze sera donc l’élément ou la différentielle de la surface cherchée ; ainsi nous aurons d’abord

$\textstyle \mathrm {AMP} =\int \mathrm {MNQP} \ldots$

(A)

Mais d’un autre côté, en négligeant le petit triangle mixtiligne MNO, qui est évidemment infiniment petit à l’égard du trapèze, nous aurons pour l’aire de ce trapèze considéré comme égal au rectangle MOQP, le produit ydx de sa base y par sa hauteur dx ; donc ydx diffère infiniment peu de la différentielle de l’aire cherchée. Donc (79) $\textstyle \int ydx$ différera infiniment peu de MNQP ou AMP, abstraction faite de la constante, c’est-à-dire donc que

$\textstyle \mathrm {AMP} =\int ydx+\mathrm {C} \ldots$

(B)

est ce que j’ai appelé une équation imparfaite.

Supposons, par exemple, que la courbe soit une parabole ordinaire, dont le paramètre soit p, nous aurons $yy=px$, et en différentiant $2ydy=pdx$ ; donc $dx={\frac {2ydy}{p}}$ ; substituant cette valeur dans l’équation (A), on aura

$\mathrm {AMP} =\int {\frac {2y^{2}dy}{p}}+\mathrm {C}$

Mais (55)

$d{\frac {2y^{3}}{3p}}={\frac {2y^{2}dy}{p}}$.