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Je différentie maintenant cette quantité en faisant varier x, y, z, et j’ai

$3x^{2}ydx+x^{3}dy+2xzdx+x^{2}dz+xdx$.

Je retranche cette différentielle de la proposée et il me reste $y^{2}dy$. Je prends donc l’intégrale de cette dernière quantité, c’est $\textstyle {\frac {y^{3}}{3}}$, que j’ajoute à ce que j’ai trouvé, et j’ai pour l’intégrale complète

$\textstyle x^{3}y+x^{2}z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{3}}{3}}+\mathrm {C}$,

laquelle étant différentiée, redonne, en effet, la quantité différentielle proposée.

89. Puisque les quantités différentielles sont elles-mêmes susceptibles de différentiation, les fonctions dans lesquelles il se trouve des différentielles secondes, troisièmes, etc., peuvent se trouver susceptibles d’intégration. Soit, par exemple, proposé d’intégrer la quantité différentielle du second ordre

$dx^{2}+xddx+addx-dy^{2}$,

dans laquelle dy soit considérée comme constante. En suivant ce qui vient d’être dit ci-dessus, c’est-à-dire en intégrant comme si ddx seule était variable, achevant l’opération et complétant l’intégrale par l’addition d’une constante Cdy, du même ordre que les autres quantités de la formule, nous aurons

$xdx+adx-ydy+\mathrm {C} dy$,

quantité différentielle qui, intégrée de nouveau, donne

${\tfrac {1}{2}}x^{2}+ax-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\mathrm {C} y+\mathrm {C} '$.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les principes du calcul intégral ; ce que nous venons de dire suffit à notre objet. Nous nous bornerons donc à un petit nombre d’applications, renvoyant pour le surplus de cette vaste science aux ouvrages des savants auteurs qui en ont traité ex professo.

90. Soit proposé de trouver l’aire de la courbe dont l’équation est

$\textstyle y=(x+a)^{\frac {1}{m}}$,