Malabar toujours verd. Il porte des baies plates, rondes, velues, contenant quatre noyaux. On fait dans le pays, de ses feuilles, de ses racines, & de son fruit, bouillis dans de l’eau, un aposeme qu’on vante contre la goutte. (D. J.)
PAIR, (Arithm.) adj. c’est une des branches de la division la plus simple & la plus générale des nombres. Un nombre pair est celui qui se peut exactement diviser par 2.
Tout nombre pair est essentiellement terminé vers la droite par un chiffre pair ou par 0 ; car ceux qui précedent étant tous des multiples de , sont conséquemment divisibles par 2, & jusque-là le nombre est pair. Pour qu’il reste tel, il faut donc que le dernier chiffre ait lui-même la propriété, ou du-moins qu’il ne l’altere point, c’est-à-dire qu’il soit pair ou 0.
Un nombre pair devient impair par l’addition ou par la soustraction de l’unité ; car dès-là la division exacte par 2 ne peut plus avoir lieu.
Deux nombres sont dits de même nom, quand ils sont tous deux pairs ou tous deux impairs ; & de différent nom, quand l’un étant pair l’autre est impair. Un nombre pair étant combiné avec un autre nombre quelconque a ; si c’est par addition ou par soustraction, la somme ou la différence sont de même nom que a.
Si c’est par multiplication, le produit est toujours pair.
De-là même il suit qu’un nombre pair ne peut diviser exactement un nombre pair, car il ne peut diviser que ce qu’il a produit.
S’il s’agit d’exaltation & d’extraction, une racine exprimée par un nombre pair donne une puissance de même nom, & réciproquement.
Telles sont les principales propriétés du nombre pair pris en général.
On pourroit demander ici à quel nom il convient de rapporter 0 . . . . Il est certain qu’il n’est ni nombre pair ni nombre impair, puisqu’il n’est point nombre ni grandeur ; mais à le considérer purement comme signe ou chiffre, on ne peut s’empêcher de reconnoître que tous les caracteres de pair lui conviennent parfaitement.
1°. Il détermine à être pair le nombre qu’il termine.
2°. Il devient impair, & même nombre impair par l’addition ou par la soustraction de l’unité.
3°. Il est, par lui-même, & sans être associé à d’autres chiffres, habile à figurer en certaines progressions arithmétiques, comme dans celle-ci (0m. 2m. 3m, &c.) & il y figure toujours comme terme pair. En effet, si m est pair, les termes de la progression le sont tous, & par conséquent celui que représente 0 : si m est impair, les termes de la progression ne sont pairs que de deux-en-deux, mais 0 appartient invariablement à la suite des termes pairs.
Mais ∞, ou l’infini, de quel nom sera-t-il ? Dans cette suite, par exemple, (0. 1. 2. . . . . . . ∞) le nombre des termes est-il pair ou impair ? On ne peut prendre parti ni d’un ni d’autre côté, qu’on ne s’expose à des objections accablantes. On pourroit dire qu’il n’est ni l’un ni l’autre en particulier, & qu’il est tous les deux ensemble. Si cela n’est pas clair, qu’on fasse attention qu’il s’agit de l’infini.
Ce qu’on ne peut au reste déterminer pour le moins, se détermine avec la plus grande facilité pour le plus. Cette autre suite (-∞ . . . .-2.-1. 0. 1. 2. . . . ), infinie des deux côtés, est plus grande que la premiere. Or il est évident que le nombre des termes y est impair, puisqu’elle a un terme du milieu, autour duquel deux termes quelconques, pris à égales distances chacun de son côté, donnent des sommes égales entr’elles.
Il suit que, si l’on supprime le terme 0, les termes restans seront en nombre pair ; mais on n’en peut
rien conclure pour le nom particulier de chacune des deux suites opposées prises séparément, parce qu’une somme paire est tout aussi-bien celle des deux impairs que de deux pairs. Article de M. Rallier des Ourmes.
Pair ou non, (Jeux d’hasard.) s’il y a quelque chose qui paroissoie communément contestable, c’est qu’au jeu de pair ou non, lorsqu’on vous présente une main fermée pleine de jettons, & que l’on vous demande si le nombre en est pair ou non-pair, il vaut autant répondre l’un que l’autre ; car certainement il y a autant de nombres pairs que d’impairs ; cette raison si simple déterminera tout le monde. Cependant à y regarder de plus près, cela ne se trouve plus ainsi, tant ces sortes de questions sur les probabilités sont délicates. M. de Mairan a trouvé qu’il y avoit de l’avantage à dire non-pair plûtôt que pair.
Les jettons, cachés dans la main du joueur qui propose le pari, ont été pris au hasard dans un certain tas, que le joueur a pû même prendre tout entier. Supposons que ce tas ne puisse être qu’impair. S’il est 3, le joueur n’y peut prendre que 1 ou 2, ou 3 jettons ; voilà donc deux cas où il prend des nombres impairs, & un seul où il prend un nombre pair. Il y a donc 2 à parier contre 1 pour l’impair, ce qui fait un avantage de ;. Si le tas est 5, le joueur y peut prendre trois impairs & seulement deux pairs ; il y a 3 à parier contre 2 pour l’impair, & l’avantage est d’un tiers. De même si le tas est 7, on trouvera que l’avantage de l’impair est , de sorte que tous les tas impairs, les avantages de l’impair correspondans à chaque tas, seront la suite d’, , , , , où l’on voit que le tas 1 donneroit un avantage infini ; y ayant 1 à parier contre 0, parce que les dénominateurs de toutes ces fractions diminuées de l’unité, expriment le sort du pair contre l’impair.
Si on suppose au contraire que les tas ne puissent être que pairs, il n’y aura aucun avantage ni pour le pair ni pour l’impair, il est visible que dans tous les tas pairs il n’y a pas plus de nombres pairs à prendre que d’impairs, ni d’impairs que de pairs.
Quand on joue, on ne sait si les jettons ont été pris dans un tas pair ou impair, si ce tas a été 2 ou 3, 4 ou 5, &c. & comme il a pu être également l’un ou l’autre, l’avantage de l’impair est diminué de moitié à cause de la possibilité que le tas ait été pair. Ainsi la suite , , , , &c. devient , , , , &c.
On peut se faire une idée plus sensible de cette petite théorie. Si on imagine un toton à 4 faces, marquées 1, 2, 3, 4, il est évident que quand il tournera, il y a autant à parier qu’il tombera sur une face paire que sur une impaire ; s’il avoit 5 faces il en auroit donc une impaire de plus, & par conséquent il y auroit de l’avantage à parier qu’il tomberoit sur une face impaire ; mais s’il est permis à un joueur de faire tourner celui de ces deux totons qu’il voudra, certainement l’avantage de l’impair, est la moitié moindre qu’il n’étoit dans le cas où le seul toton impair auroit tourné ; ce qui fait précisément le cas du jeu de pair ou non.
On voit par la suite , , , , &c. ou par l’autre , , , , que l’avantage de l’impair va toujours en diminuant, selon que les tas ou le nombre de jettons qu’on peut prendre est plus grand. La raison essentielle en est, que 1 étant toujours la différence dont le nombre des impairs excede celui des pairs dans un impair quelconque, cet 1 est toujours moindre par rapport à un plus grand nombre. Ces joueurs si rafinés, qui ont soupçonné quelque avantage pour l’impair, n’y eussent certainement pas soupçonné cette diminution.
Si l’on vouloit jouer à jeu égal, il faudroit que le joueur qui présente le pari dît si le tas où il a pris les
