der la lettre marquée sur cette ballote jusqu’à ce que tous les autres ayent tiré la leur. Alors un des juges faisant la ronde examine les ballotes de chacun, & apparie ceux qui ont les lettres semblables. Si le nombre des athletes est impair, celui qui a tiré la lettre unique est mis en réserve pour se battre contre le vainqueur ». Mém. de l’Académ. des Bell. Lett. tom. I. & VII. (G)
Calcul des nombres, signifie, en Méchanique & parmi les Horlogers, l’art de calculer les nombres des roues & des pignons d’une machine, pour leur faire faire un nombre de révolutions donné dans un tems donné. On ne peut parvenir à cela, qu’en modérant la vîtesse des roues par un pendule ou balancier, dont les vibrations soient isochrones. Voy. Pendule & la fig. 2. & 3. Pl. I. de l’Horlogerie, qui représente un roüage de pendule ; D, la roue de rencontre ; C, la roue de champ ; B, la grande roue, laquelle doit faire un tour en une heure. Le mouvement lui est communiqué par la roue A adossée à une poulie que le poids G fait tourner en tirant en en-bas : cette roue engrene dans un pignon fixe au centre ou sur la même tige que la roue B, qui doit faire un tour en une heure. Cette roue engrene de même dans le pignon fixe sur la tige de la roue de champ C ; cette derniere engrene dans le pignon de la roue de rencontre D, dont la vîtesse est modérée par les vibrations du pendule, qui ne laisse passer qu’une dent de la roue de rencontre à chaque vibration du pendule. Mais comme chaque dent de la roue de rencontre, dans une révolution entiere, frappe deux fois contre les palettes du pendule, il suit que le nombre de vibrations pendant un tour de la roue de rencontre est double de celui des dents de cette roue. Ainsi, si les vibrations du pendule durent chacune une seconde, & que la roue de rencontre ait 15 dents, le tems de sa révolution sera de 30″ ou une demi-minute. Si on suppose que le pignon x de la roue de rencontre D ait six ailes ou dents, & que la roue de champ qui le mene en ait 24, il est manifeste, vû que les dents du pignon ne passent qu’une à une dans celles de la roue, qu’il faudra, avant que la roue de champ C ait fait un tour, que le pignon x en ait fait quatre, puisque le nombre de ses dents 6 est contenu 4 fois dans le nombre 24 de la roue. Mais on a observé que la roue de rencontre, & par conséquent le pignon x qui est fixé sur la même tige, employe 30″ à faire une révolution ; par conséquent la roue de champ C doit employer quatre fois plus de tems à faire une révolution entiere : 30″ ✕ 4 = 120″ = 2′, ainsi le tems de sa révolution est de deux minutes.
Présentement si on suppose que le pignon y fixé sur la roue de champ ait six ailes, & que la roue à longue tige B ait 60 dents, il faudra que le pignon y fasse dix tours avant que la roue B en ait fait un ; mais le pignon y fixé sur la tige de la roue de champ C employe le même tems qu’elle à faire une révolution, & le tems est de 2′ ; la roue B en employera donc 10 fois davantage, c’est-à-dire 20′ ou 1200″ ou vibrations du pendule. Ainsi l’on voit que le tems qu’elle met à faire une révolution, n’est que le tiers de 3600″ ou d’une heure, qu’elle devoit employer à la faire. Les nombres supposés sont donc moindres que les vrais, puisqu’ils ne satisfont pas au problème proposé ; ainsi on sent qu’il est nécessaire d’avoir une méthode sûre de trouver les nombres convenables.
Il faut d’abord connoître le nombre des vibrations du pendule que l’on veut employer pendant le tems qu’une roue quelconque doit faire une révolution. Voyez à l’article Pendule la maniere de déterminer le nombre des vibrations, par cette regle, que le quarré de ce nombre, dans un tems donné, est en raison inverse de la longueur du pendule. Divisez le nombre par deux, & vous aurez le produit de tous les
combien de fois une roue contient en nombre de dentures le pignon qui engrene dans cette roue. Ainsi si on a une roue de soixante dents & un pignon de six qui y engrene, l’exposant sera 10 qui marque que le pignon doit faire dix tours pour un de la roue : on écrit les pignons au-dessus des roues, & l’exposant entre deux en cette sorte :
| 6 = | pignon, |
| 10 = | exposant, |
| 60 = | roue. |
Lorsqu’il y a plusieurs pignons & roues, on les écrit
à la file les uns des autres, en séparant les exposans
par le signe ✕ (multiplié par) dont un des côtés représente
la tige sur laquelle est un pignon & une roue,
qui ne composant qu’une seule piece, font leur révolution
en tems égaux. Exemple :
| 0 | 7 | 7 | 8 | |||||||
| A2 | ✕ | 15 | ✕ | 6 | ✕ | 5 | ✕ | 7 | &c. | |
| 15 | 42 | 35 | 60 | B |
1, 2, 15, 6, 5, 7 , sont les exposans ou les quotiens
des roues divisés par leurs pignons. 7, 7, 8,
les pignons. 15, 42, 35, 60, les roues qui engrenent
dans les pignons placés au-dessus. Les ✕ marquent,
comme il a été dit, que le pignon 7 & la roue
15 sont sur une même tige, ainsi que le second pignon
7 & la roue 42, de même le pignon 8 est sur
la tige de la roue 35.
Théorème. Le produit des exposans doublé est égal au nombre des vibrations du pendule pendant une révolution de la derniere roue B.
Démonstration. La roue de rencontre 15, ainsi qu’il a été expliqué ci-dessus, ne laisse passer qu’une dent à chaque vibration du pendule : mais comme chaque dent passe deux fois sous les palettes du pendule, le nombre des vibrations, pendant une révolution de la roue de rencontre, est le double du nombre de dents de cette roue ; ainsi on doit compter 30 vibrations ou 2 ✕ 15 : mais le pignon 7 fixé sur la tige de la roue de rencontre, fait sa révolution en même tems que la roue fait la sienne ; & il faut qu’il fasse six révolutions pour que la roue 42 en fasse une ; le nombre de vibrations pendant une révolution de cette seconde roue 42, sera donc sextuple de celui du pignon 7 qui employe 2 ✕ 15 à faire sa révolution ; ainsi la roue 42 employera 2 ✕ 15 ✕ 6 vibrations à faire une révolution entiere. Le second pignon 7 fixé sur la tige de cette roue, employera autant de tems qu’elle a à faire une révolution : mais il faut cinq révolutions de ce pignon pour un tour de la roue 35 : ainsi le nombre de vibrations pendant un tour de cette derniere roue, sera (2 ✕ 15 ✕ 6) ✕ 5 vibrations ; le pignon 8 employera le même tems, & la roue 60, 7 fois davantage, puisqu’il faut que le pignon 8 fasse 7 tours, pour que la roue 60 en fasse un : ainsi le nombre des vibrations pendant une révolution de cette derniere roue, sera (2 ✕ 15 ✕ 6 ✕ 5) ✕ 7 , ce qui est le produit de tous les exposans multiplié par 2. Ce qu’il falloit démontrer.
Dans un roüage on place ordinairement les plus petits pignons vers l’échappement, & les plus gros vers le moteur : on place de même les roues plus chargées de dentures ; ce qui fait que les plus grands exposans se trouvent vers l’échappement : ainsi dans l’exemple précédent, les roues 35 & 42 devroient changer de place, pour que les exposans allassent en décroissant de A vers B en cette sorte :
| 0 | 5 | 7 | 9 | |||||||
| A2 | ✕ | 15 | ✕ | 10 | ✕ | 8 | ✕ | 7 | B | |
| 50 | 56 | 63 |
ce qui fait un roüage qui peut être employé avec
avantage pour toutes les parties. On met le nombre
de vibrations ou produit des exposans à la fin, sé-
