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cf. page de discussion pour le remplacement de 2y par 27 dans les équations

série ; c’est à quoi on n’a pû parvenir jusqu’à présent. Cependant M. Nicole l’a sommée dans quelques cas particuliers, qu’il a par conséquent soustraits, pour ainsi dire, au cas irréductible. Voyez les Mem. acad. 1738, & suiv.

Lorsque l’une des trois équations réelles & inégales est commensurable, alors l’équation n’est plus dans le cas irréductible, parce que l’un des diviseurs du dernier terme donne la racine commensurable. Voyez Diviseur & Racine.

Mais quand l’équation est incommensurable, il faut, pour trouver l’expression réelle de la racine, ou sommer la série susdite, ou dégager de quelqu’autre maniere l’expression trouvée, de la forme imaginaire qui la défigure pour ainsi dire. C’est à quoi on travaille inutilement depuis deux cents ans.

Cette racine du cas irréductible, si difficile à trouver par l’Algebre, se trouve aisément par la Géométrie. Voyez Construction. Mais quoiqu’on ait sa valeur linéaire, on n’en est pas plus avancé pour son expression algébrique. V. Incommensurable.

Cet inconvénient du cas irréductible vient de la méthode qu’on a employée jusqu’ici pour résoudre les équations du troisieme degré ; méthode imparfaite, mais la seule qu’on ait pû trouver jusqu’à présent. Voici en quoi consiste l’imperfection de cette méthode. On suppose x = y + z, y & z étant deux quantités indéterminées ; ensuite on a tout à la fois

$\scriptstyle x^{3}-3yzx$	$\scriptstyle -y^{3}=0$, & $\scriptstyle x^{3}+qx+r=0$
	$\scriptstyle -z^{3}=0$

On compare ces équations terme à terme, & cette comparaison terme à terme enferme une supposition tacite, qui amene la forme irréductible sous laquelle x est exprimée ; à la rigueur on a $\scriptstyle qx+r=-3yzx-y^{3}-z^{3}$ ; voilà la seule conséquence rigoureuse qu’on puisse tirer de la comparaison des deux équations : mais outre cela on veut encore supposer que la premiere partie de qx + r, c’est-à-dire qx soit égale à -3yzx, premiere partie du second membre. Cette supposition n’est point absolue ni rigoureusement nécessaire, on ne la fait que pour parvenir plus aisément à trouver la valeur de y & de z, qu’on ne pourroit pas trouver sans cela ; d’ailleurs comme y & z sont l’une & l’autre indéterminées, on peut supposer $\scriptstyle -3yzx=qx$ & $\scriptstyle -y^{3}-z^{3}=r$. Mais cette supposition même fait que les deux quantités y & z, au lieu d’être réelles comme elles devroient, se trouvent chacune imaginaires. Il est vrai qu’en les ajoûtant ensemble, leur somme est réelle : mais l’imaginaire qui s’y trouve toûjours, & qu’on ne peut en chasser, rend inutile l’expression de x qui s’en tire.

En un mot, l’équation x = y + z ne donne à la rigueur que cette équation $\scriptstyle qx+r=-3yzx-y^{3}-z^{3}$ ou $\scriptstyle qy+qz+r=-3yyz-3yzz-y^{3}-z^{3}$ ; & toutes les fois que l’on voudra de cette équation en faire deux autres particulieres, on fera une supposition tacite qui pourra entrainer des inconvéniens impossibles à éviter, comme il arrive ici, où y & z se trouvent forcément imaginaires.

Il faudroit voir si par quelque moyen on ne pourroit pas couper l’équation susdite en deux autres, qui donnassent à y & à z une forme réelle & facile à trouver : mais cette opération paroît devoir être fort difficile, si elle n’est pas impossible.

J’ai fait voir dans les Mémoires de l’Academie des Sciences de Prusse de 1746, que l’on pouvoit toûjours trouver par la trisection d’un arc de cercle, une quantité $\scriptstyle c+c{\sqrt {-1}}$, égale à la racine cube de $\scriptstyle a+b{\sqrt {-1}}$ ; & que si $\scriptstyle c+c{\sqrt {-1}}={\sqrt[{3}]{a+b{\sqrt {-1}}}}$, on a $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{a-b{\sqrt {-1}}}}=c-c{\sqrt {-1}}$. V. Imaginaire. D’où il s’ensuit que dans les cas où un arc de cercle peut être divisé géométriquement, c’est-à-dire, par

la regle & le compas, en trois parties égales, on peut assigner la valeur algébrique de c & de e : ce qui pourroit fournir des vûes pour résoudre en quelques occasions des équations du troisieme degré qui tomberoient dans le cas irréductible. Voyez le Mémoire que j’ai cité.

Quoi qu’il en soit, la racine étant incommensurable dans le cas irréductible, l’expression réelle de cette racine, quand on la trouveroit, n’empêcheroit pas de recourir aux approximations. Nous avons donné à l’article Approximation la méthode générale pour approcher de la racine d’une équation, & nous y avons indiqué les auteurs qui ont donné des méthodes particulieres d’approximation pour le cas irréductible. Voyez aussi Cascade.

Puisque nous en sommes sur cette matiere des équations du troisieme degré, nous croyons qu’on ne nous saura pas mauvais gré de faire ici quelques remarques nouvelles qui y ont rapport, & dont nos lecteurs pourront tirer de l’utilité.

On sait que toute équation du troisieme degré a trois racines. Il faudroit donc, pour résoudre d’une maniere complette une équation du troisieme degré, trouver une méthode qui fît trouver à la fois les trois racines, comme on trouve à la fois les deux racines d’une équation du second degré. Jusqu’à ce qu’on ait trouvé cette méthode, il y a bien de l’apparence que la théorie des équations du troisieme degré restera imparfaite : mais la trouvera-t-on, cette méthode ? c’est ce que nous n’osons ni nier ni prédire.

Examinons présentement de plus près la méthode dont on se sert pour trouver les racines d’une équation du troisieme degré. On a d’abord une équation du sixieme degré y⁶, &c. telle qu’on l’a vûe ci-dessus, & qui a par conséquent six racines, qu’on peut aisément prouver être toutes inégales : on a ensuite une équation du troisieme degré $\scriptstyle z^{3}=-y^{3}-r$ ; & comme y³ a deux valeurs différentes à cause de l’équation $\scriptstyle y^{6}+ry^{3}$, &c. = 0, & que z est élevé au troisieme degré, il s’ensuit que cette équation doit donner aussi six valeurs différentes de z, trois pour chaque valeur de y³ ; or chacune des six valeurs de z étant combinée avec chacune des six valeurs de y, on aura trente-six valeurs différentes pour z + y ; donc x paroît avoir trente-six valeurs différentes. Cependant l’équation étant du troisieme degré, x ne doit avoir que trois valeurs : comment accorder tout cela ?

Je réponds d’abord que les trente-six valeurs prétendues de y + z doivent se réduire à dix-huit ; en effet, il ne faut pas combiner indifféremment chaque valeur de z avec toutes les valeurs de y, mais seulement avec les valeurs de y qui correspondent à la valeur qu’on a supposée à y³. Par exemple, on a $\scriptstyle y^{3}=-{\frac {r}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$, d’où l’on tire $\scriptstyle z^{3}=-{\frac {r}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$ ; le signe + qui précede le signe radical dans la valeur de y³, répond au signe − qui précede le signe radical dans la valeur de z³, & le signe − au signe + ; ce qui est évident, puisque $\scriptstyle z^{3}=-r-y^{3}$ : donc pour chacune des trois valeurs de y qui répondent au signe + placé devant le signe radical, il y a trois valeurs de z qui répondent au signe − placé devant le signe radical, ce qui fait neuf valeurs de y + z ; & en y ajoûtant les neuf autres valeurs pour le cas du signe − placé avant le signe radical dans l’expression de y³, cela fait dix-huit au lieu de 36 qu’on auroit eu en combinant indifféremment les signes. Mais ce n’est pas tout.

Quoique chacune des valeurs de y & de z, employées & combinées comme on vient de le prescrire, paroisse donner une valeur de y + z, il faut encore rejetter celles dans lesquelles le produit zy