le troisieme ordre, & M. Euler seize, ce qui prouve encore l’arbitraire des subdivisions.
On peut par une méthode semblable faire la division des courbes d’un genre supérieur. Voyez ce que M. Cramer a fait par rapport aux lignes du quatrieme ordre dans le chap. jx. de son ouvrage.
Pour rappeller à l’une des quatre formes de M. Newton une ligne quelconque du troisieme ordre, dont l’équation est donnée en z & en u, on transformera d’abord les axes de la maniere la plus générale, en supposant , & ; substituant ensuite ces valeurs, on déterminera les coefficiens A, B, &c. à être tels que l’équation en x & en y ait une des quatre formes susdites.
Points singuliers & multiples des courbes. On appelle point multiple d’une courbe celui qui est commun à plusieurs branches qui se coupent en ce point, & par opposition point simple celui qui n’appartient qu’à une branche. Il est visible qu’au point multiple l’ordonnée y a plusieurs valeurs égales répondantes à un même x. C’est-là une propriété du point multiple ; mais il ne faut pas croire que le point soit multiple, toutes les fois que l’ordonnée a plusieurs valeurs égales. Car, si une ordonnée touche la courbe, par exemple, il est aisé de voir que l’ordonnée a dans ce point deux valeurs égales, sans que le point soit double. Voyez Tangente. La propriété du point multiple, c’est que l’ordonnée y a plusieurs valeurs égales, quelque situation qu’on lui donne ; au lieu que dans le point simple l’ordonnée qui peut avoir plusieurs valeurs égales dans une certaine situation, n’en a plus qu’une dès que cette situation change, ce qui est évident par la seule inspection d’un point multiple & d’un point simple. Voyez Point.
De-là il s’ensuit que si on transporte l’origine en un point supposé multiple, en faisant , , il faut qu’en supposant z infiniment petit, on ait plusieurs valeurs nulles de u, quelque direction qu’on lui donne. Ainsi pour trouver les points multiples, il n’y a qu’après avoir transporté l’origine dans le point supposé, donner une direction quelconque à l’ordonnée, & voir si dans cette direction quelconque l’ordonnée aura plusieurs valeurs égales à zéro. Voyez M. l’abbé de Gua, p. 88. & M. Cramer, page 409.
On prouvera par ces principes, que les sections coniques ne peuvent avoir de points multiples, ce qu’on savoit d’ailleurs. On prouvera aussi que les courbes du troisieme ordre ne peuvent avoir de points triples, &c. Mais cette proposition se peut encore prouver d’une maniere plus simple en cette sorte. Imaginons que l’ordonnée soit tangente d’une des branches, elle rencontrera cette branche en deux points. Or si le point est un point double, par exemple, l’ordonnée rencontreroit donc la courbe en trois points, ce qui ne peut être dans une section conique ; car jamais une droite ne peut la rencontrer qu’en deux points, puisque son équation ne passe jamais le second degré ; & qu’ainsi quelque position qu’on donne à l’ordonnée, elle ne peut avoir jamais plus de deux valeurs. On prouvera de même qu’une courbe de second genre, ou ligne du troisieme ordre, ne peut avoir de point triple, parce que la courbe ne peut jamais être coupée qu’en trois points par une ligne droite.
À l’égard des points doubles des courbes, nous avons déjà remarqué que les courbes du second genre peuvent être coupées en trois points par une ligne droite. Or deux de ces points se confondent quelquefois, comme il arrive, par exemple, quand la ligne droite passe par une ovale infiniment petite ;
ou par le point de concours de deux parties d’une courbe qui se rencontrent, & s’unissent en une pointe. Quelquefois les lignes droites ne coupent la courbe qu’en un point, comme il arrive aux ordonnées de la parabole de Descartes, & de la premiere parabole cubique ; en ce cas il faut concevoir que ces lignes droites passent par deux autres points de la courbe placés à une distance infinie ou imaginaire. Deux de ces intersections coïncidentes, faites à une distance infinie, ou même imaginaire, constituent une espece de point double.
On appelle points singuliers les points simples qui ont quelque propriété particuliere, comme les points conjugués, les points d’inflexion, les points de serpentement, &c. Voyez Point, Conjugué, Inflexion, Serpentement, &c. Voyez aussi Rebroussement, Nœud, &c. Sur les tangentes des courbes en général, & sur les tangentes des points multiples, voyez Tangente.
Description organique des courbes. 1o. Si deux angles de grandeur donnée, P A D, P B D (Pl. de Géomet. fig. 53.) tournent autour de deux poles A & B, donnés de position, & que le point de concours P des côtés AP, BP, décrive une ligne droite, le point de concours D des deux autres côtés décrira une section conique qui passera par les poles A & B, à moins que la ligne ne vienne à passer par l’un ou l’autre des poles A & B, ou que les angles BAD & ABD ne s’évanoüissent à la fois, auquel cas le point de concours décrira une ligne droite.
2o. Si le point de concours P des côtés AP, BP, décrit une section conique passant par l’un des poles A, le point de concours D des deux autres côtés AD, BD, décrira une courbe du second genre qui passera par l’autre pole B, & qui aura un point double dans le premier pole A, à moins que les angles B A D, A B D, ne s’évanoüissent à la fois, auquel cas le point D décrira une autre section conique qui passera par le pole A.
3o. Si la section conique décrite par le point P ne passe, ni par A ni par B, le point D décrira une courbe du second ou du troisieme genre, qui aura un point double ; & ce point double se trouvera dans le concours des côtés décrivans AD, BD, quand les deux angles B A P, A B P, s’évanoüissent à la fois. La courbe décrite sera du second genre, quand les angles B A D, A B D, s’évanoüiront à la fois, sinon elle sera du troisieme genre, & aura deux points doubles en A & en B.
Les démonstrations de ces propositions, qu’il seroit trop long de donner ici, se trouveront dans l’ouvrage de M. Maclaurin, qui a pour titre, Geometria organica, où il donne des méthodes pour tracer des courbes géométriques par un mouvement continu. Voyez aussi le VIII. livre des sections coniques de M. de l’Hopital.
Génération des courbes du second genre par les ombres. Si les ombres des courbes de différens genres sont projettées sur un plan infini, éclairé par un point lumineux, les ombres des sections coniques seront des sections coniques ; celles des courbes du second genre seront des courbes du second genre ; celles des courbes du troisieme genre seront des courbes du troisieme genre, &c.
Et comme la projection du cercle engendre toutes les sections coniques, de même la projection des cinq paraboles divergentes engendre toutes les autres courbes du second genre ; & il peut y avoir de même dans chaque autre genre une suite de courbes simples, dont la projection sur un plan éclairé par un point lumineux, engendre toutes les autres courbes du même genre. MM. Nicole & Clairaut, dans les mémoires de l’acad. de 1731, ont démontré la propriété des cinq paraboles divergentes dont nous ve-
