Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 9.djvu/498

sur DG, prenez DC = s, & prenant CG pour diametre, les ordonnées paralleles a PM, & la ligne CH = p pour parametre, décrivez la parabole CM, & elle sera le lieu de la formule générale suivante.

$\scriptstyle yy-{\frac {2n}{m}}xy+{\frac {nn}{mm}}=0$

$\scriptstyle yy$$\scriptstyle -2ry+{\frac {2nr}{m}}x$

$\scriptstyle yy-2ry\$$\scriptstyle -{\frac {ep}{m}}x$

$\scriptstyle yy-2ry\$$\scriptstyle +rr$

$\scriptstyle yy-2ry\$$\scriptstyle +ps$

car si d’un de ses points quelconques M on tire l’ordonnée PM, les triangles ABE, APF, seront semblables, & par conséquent

$\scriptstyle AB(m){\text{ : }}AE(e){\text{ :: }}AP(x){\text{ : }}AF$ ou $\scriptstyle DG={\frac {cx}{m}}$ & $\scriptstyle AB(m){\text{ : }}BE(n){\text{ :: }}AP(x){\text{ : }}PF={\frac {nx}{m}}$, & par conséquent $\scriptstyle GM$ ou $\scriptstyle PM-PF-FG=y-{\frac {nx}{r}}-r$, & $\scriptstyle CG$ ou $\scriptstyle DG-DC={\frac {cx}{m}}-s$. Mais par la nature de la parabole $\scriptstyle {\overline {GM}}^{2}=CG\times CH$ ; & cette derniere équation deviendra la formule générale elle-même, si on y substitue à la place des droites qui sont employées, leurs valeurs marquées ci-dessus.

Cette équation est la plus générale qui puisse appartenir à la parabole, puisqu’elle renferme 1°. le quarré de chacune des inconnues x, y ; 2°. le produit xy de l’une par l’autre ; 3°. les inconnues linéaires x, y, & un terme tout constant. Une équation du second degré, ou les indéterminées x, y, se trouvent mêlées, ne sauroit contenir un plus grand nombre de termes.

Par le point fixe A, tirez la droite indéfinie AQ, (fig. 35) parallele à PM ; prenez AB = m, tirez BE = n parallele à AP, & par les points déterminés AE, la droite AE = e ; sur AP, prenez AD = r, tirez la droite indéfinie DG, parallele à AE, & prenez la portion DC = s. Enfin prenant pour diametre CG, & supposant les ordonnées paralleles à AP, & pour parametre la ligne CH = p, décrivez une parabole CM ; cette parabole seroit le lieu de cette seconde équation ou formule.

$\scriptstyle xx-{\frac {2n}{m}}yx+{\frac {nn}{mm}}yy=0$

xx$\scriptstyle -2rx-{\frac {cp}{m}}y$

xx - 2rx$\scriptstyle +rr$

xx - 2rx$\scriptstyle +ps$

car si d’un point quelconque M on tire la droite MQ parallele à AP, on aura $\scriptstyle AB(m){\text{ : }}AE(e){\text{ : }}{\text{ : }}AQ$ ou $\scriptstyle PM(y){\text{ : }}AF$ ou $\scriptstyle DG={\frac {cy}{m}}$ & $\scriptstyle AB(m){\text{ : }}BE(n){\text{ : }}{\text{ : }}AQ(y){\text{ : }}QF={\frac {ny}{m}}$, & par conséquent $\scriptstyle GM$ ou $\scriptstyle QM-QF-FG=x-{\frac {ny}{m}}-r$ & $\scriptstyle CG$ ou $\scriptstyle DG-FC={\frac {cy}{m}}-s$ & ainsi par la propriété de la parabole, vous trouverez encore la seconde des équations générales ou des formules précédentes ; & vous vous y prendrez de la même sorte, pour trouver les équations générales ou les formules des autres sections coniques.

Si on demande maintenant de décrire la parabole qui doit être le lieu de l’équation suivante, que nous supposerons donnée $\scriptstyle yy-2ay-bx+cc=0$, comme $\scriptstyle yy$ se trouve ici sans fraction, de même que dans notre premiere formule, il vaudra mieux comparer la proposée avec cette premiere formule qu’avec l’autre ; & d’abord puisque le rectangle xy ne se trouve point dans la proposée, ou qu’il peut y être censé multiplié par 0, nous en conclurons que la fraction $\scriptstyle {\frac {2n}{m}}$ doit être = 0, & par conséquent aussi

qu’on doit avoir n, ou BE = 0 ; de sorte que les points B, E, doivent être co-incidens, ou que la droite AE doit tomber sur AB & lui être égale, c’est-à-dire que m = e : détruisant donc dans la formule tous les termes affectés de $\scriptstyle {\frac {n}{m}}$ ou de n, & substituant par-tout m à la place de e, elle se changera en '$\scriptstyle 'yy-2ry-px+rr+ps=0$, & comparant encore les termes correspondans$\scriptstyle -2ry$, & $\scriptstyle -2ay$, $\scriptstyle -px$ & $\scriptstyle -bx$, enfin $\scriptstyle rr+ps$, & $\scriptstyle cc$, nous aurons $\scriptstyle r=a$, $\scriptstyle p=b$, & en substituant ces valeurs dans la derniere équation de comparaison, $\scriptstyle aa+bs=cc$, ou bien $\scriptstyle s={\frac {cc-aa}{b}}$, qui par conséquent sera une quantité négative, si a est plus grand que c, comme nous le supposons ici. Il ne serviroit de rien de comparer les deux premiers termes, parce qu’étant les mêmes des deux côtés, savoir $\scriptstyle yy$, cette comparaison ne pourroit rien faire découvrir.

Or les valeurs de m, n, r, p, s, ayant été ainsi trouvées, on construira facilement le lieu cherché par les moyens qui nous ont servi à la construction de la formule & de la maniere suivante, comme BE (n) est = 0 (fig. 36.) & que les points B, E, coincident, ou que AE tombe sur AP, il faudra par cette raison tirer du point A la droite AD (r) parallele à PM & = a, & la droite DG parallele à AP, dans laquelle vous marquerez la droite DC $\scriptstyle (S)={\frac {aa-cc}{b}}$, laquelle doit être prise au-delà de l’origine, dans un sens opposé à DG ou AP, parce que la fraction $\scriptstyle {\frac {aa-cc}{b}}$ est négative par la supposition. Ensuite regardant DC comme diametre, prenant des ordonnées paralleles à PM, & la droite CH $\scriptstyle (p)=b$ pour parametre ; vous décrirez une parabole, je dis qu’elle sera le lieu de l’équation donnée, & il est en effet aisé de le prouver. Si c’eût été le quarré $\scriptstyle xx$ qui se fût trouvé tout-d’un-coup sans fraction dans la proposée, il auroit été alors plus naturel de se servir de la seconde formule. On voit au reste qu’au moyen d’une division fort facile, on peut délivrer des fractions tel des deux quarrés qu’on voudra ; & il faudroit commencer par cette division, si l’on voyoit que la comparaison des termes en dût devenir plus simple.

Voilà une idée de la méthode de construire les lieux des équations lorsqu’ils doivent être des sections coniques, ou ce qui est la même chose, lorsque les équations ne passent pas le second degré : car on doit sentir que les lieux à l’ellipse & à l’hyperbole, doivent se déterminer par une méthode semblable.

Mais une pareille équation étant donnée, au lieu de demander comme tout-à-l’heure, d’en construire le lieu, si on se contente de demander quelle doit être l’espece de la section conique qui en est le lieu, si c’est une parabole, une ellipse ou même un cercle, un hyperbole équilatere, ou non équilatere, il faudroit pour en juger commencer par faire passer d’un même côté tous les termes de l’équation, de façon qu’il restât zero de l’autre côté ; & cela étant fait, il pourroit se présenter deux cas différens.

Premier cas ; supposons que le rectangle xy, ne se trouve point dans l’équation ; alors 1°. s’il n’y a qu’un des deux quarrés $\scriptstyle yy$, ou $\scriptstyle xx$, le lieu sera une parabole. 2°. Si les deux quarrés s’y trouvent tout-à-la-fois & avec le même signe, le lieu sera une ellipse, & en particulier un cercle, lorsque ni l’un ni l’autre des deux quarrés n’aura de coefficient, ou (si on n’avoit point réduit l’un d’eux à n’en point avoir), lorsqu’ils auront les mêmes coefficiens, & que de plus l’angle des coordonnées sera droit. 3°. si les deux quarrés xx, & yy se trouvent dans l’équation, & avec des signes différens, le lieu sera une hyperbole