L’axiome arithmétique « un et un font deux » n’est que l’axiome philosophique transposé et complété : il proclame le « moi », il reconnaît le « toi ».
Axiome géométrique § 1. La ligne droite. — L’axiome géométrique est la notion de la ligne droite.
« La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre. »
Cette antique définition a vécu.
Elle était enfantine et inexacte ; elle oubliait de déterminer ce qu’il faut entendre par le plus court chemin. La ligne droite de Paris aux antipodes passe par le centre de la terre, mais ce n’est pas un chemin.
Le plus court chemin par terre et par mer est singulièrement sinueux. Il est courbe car il couvre la demi-circonférence du globe à vol d’oiseau ; il est courbe car il est extérieur à une circonférence qu’il rencontre en deux points, au départ et à l’arrivée. Il serait une ligne brisée si l’envol était oblique et rectiligne, le vol plan, et si l’aviateur, pour atterrir, piquait vers le sol.
Les travaux d’Einstein ont vulgarisé la notion de la ligne géodésique et ont montré que la ligne courbe peut être le plus court chemin utile pour les astres en mouvement.
La géométrie s’est perfectionnée ; la ligne droite est maintenant « une ligne entièrement définie par la connaissance de deux de ses points ».
Que pense la logique de cette amélioration ?
La logique, si l’on ose parler en son nom, pense que le brouillard a changé de place et de couleur. Une ligne droite ne peut être définie entièrement par la connaissance de deux points que pour celui qui a déjà la notion de la ligne droite. Cette définition de la ligne droite forme un cercle, un cercle vicieux.
L’ancienne formule définissait l’espace par la marche progressive, en utilisant le mot « chemin ».
Ce n’est pas une querelle de dialectique que nous cherchons à la géométrie, mais une querelle d’axiome : nous recherchons si la notion de ligne droite peut être décomposée.
D’où nous vient la notion de ligne droite ? D’où nous vient cette croyance superstitieuse qu’elle est la norme régulière dont la nature, qui passait jadis pour avoir horreur du vide, ne s’écarte qu’avec ennui ?
La question a son importance, car cette ligne droite que nous prolongeons indéfiniment, nous mène à la conception de l’indéfini. Si nous posons l’index sur la tête d’une épingle, si nous considérons qu’un nombre infini de lignes peuvent passer par notre index en ce point, horizontales, obliques ou verticales, et que ces lignes peuvent se prolonger indéfiniment, nous arrivons à la notion de l’infini.
Nous écartons, bien entendu, la théorie philosophique d’après laquelle l’idée de l’infini serait une idée innée. Il n’y a pas plus d’idées innées, selon nous, qu’il n’y a jamais eu de génération spontanée.
L’idée de ligne droite ne nous est pas fournie par les exemples de la nature. Le ciel a l’apparence d’une voûte, l’horizon est circulaire, le nuage forme des volutes, l’oiseau qui vole dans les airs est circonflexe ; l’homme et l’animal n’érigent au dessus de la terre que des masses rondes étagées. Nous savons maintenant que la lumière est pesante : déviée par l’attraction ― si l’attraction existe, et si cette déviation n’est pas une orientation naturelle, ― elle ne nous arrive pas en ligne droite et la pierre qui tombe doit à la résistance de l’air combinée avec la translation et la rotation terrestres de ne pas suivre une ligne droite rigoureuse.
Les rares spécimens que nous pourrions trouver d’objets ou de mouvements rectilignes dans les champs de la nature, n’expliqueraient pas que nous ayons dégagé la ligne droite de l’ensemble, qu’elle soit la plus satisfaisante pour notre esprit, qu’il s’agisse de
L’abstraction est une faculté qui nous permet d’éliminer dans la considération des objets, ce qui est négligeable.
Nous arrivons, par l’abstraction, à cette fiction qui s’appelle la ligne, car si nous raisonnons sur des barres, comme Pascal enfant, mais sur des barres matérielles, nous nous apercevons bientôt que leur épaisseur est sans importance pour la détermination de leurs rapports géométriques, et qu’il est avantageux de la considérer comme nulle.
L’algèbre, pour le même avantage, raisonne sur des signes, car la chair lui importe peu, le squelette lui suffit ; la règle est générale quelle que soit l’espèce ; la loi, vraie pour tous les nombres, s’établit sans considération d’aucun nombre précisé.
Des joueurs de football, chargés de trouver, dans la campagne, un emplacement favorable pour un match, reviennent et déclarent qu’ils ont découvert un terrain idéalement plan. Ils savent bien que ce champ clos a, pour le moins, les aspérités de la route terrestre et suit ; si peu que ce soit, la courbe du méridien ; mais cette inégalité insignifiante, et cette incurvation insensible peuvent être considérées comme inexistantes. L’abstraction les retranche.
Trop souvent, nous opérons ainsi lorsque, intellectuellement, nous construisons le monde ; l’erreur infinitésimale, inappréciable à l’origine, devient infinie à l’infini ; les premiers hommes qui regardaient la terre comme plate ont été abusés par une superstition : la ligne droite prolongée.
Faut-il donc croire que nous arrivons à la notion de la ligne droite par abstraction, en corrigeant la courbe ? Pourquoi serions-nous tentés de faire cette correction ?
Lorsque notre vision s’exerce, nous reportons devant nous l’image des choses qui se forme, renversée sur notre rétine. Dans cette opération géométrique, qui constitue le mécanisme de la vue, nous prenons sans doute la notion de la ligne médiane qui est l’axe de cette construction symétrique.
Pure hypothèse ; car nous n’avons qu’un mince droit de regard sur notre monde intérieur. Les philosophes, pour expliquer que nous ayons la conscience de notre être, ont inventé un sixième sens : le sens intime. Ce sens postiche usurpe sa place dans la série. Ce n’est qu’une fausse fenêtre sur l’inconnu. Ce n’est pas le dieu qui sort de la machine, c’est le dieu dans la machine, et sa voix sourde nous avertit mal de ce qui s’y trouve.
Quelle que soit la provenance de l’axiome géométrique, cet axiome, comme tous les autres, constate et traduit une sensation.
§ 2. La Perpendiculaire. — La géométrie, impuissante à définir la ligne droite, n’est pas moins gênée pour donner une définition de la perpendiculaire.
On lit, dans les anciens manuels, que la perpendiculaire est la direction du fil à plomb à la surface des eaux tranquilles. Que le plomb soit mal suspendu, le fil mal fixé, ou que l’expérimentateur se trompe sur le
