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Application du Théorême de Taylor au développement des fonctions

$(i+x)^{m},a^{n},\log(1+x),\cos .x,et\sin .x.$^[1]

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La méthode suivante suppose seulement que l’on sache différentier les produits et les puissances entières des variables, et que l’on connoisse la formule de Taylor, démontrée pag. 52 du premier volume de la Correspondance, savoir :

$\phi (x+h)=\phi x+h.\phi 'x+{\frac {h^{2}}{2}}.\phi ^{m}x+{\frac {h^{3}}{2.3}}.\phi '''+etc.$

1° Soit	$\phi (1+x)$	$=(1+x)^{m}$ ; par conséquent $\phi y=y^{m}$,
et	$\phi (y+xy)$	$=(y+xy)^{m}=ym(1+x)m$;
d'où l'on conclut		$\phi (1+x).\phi y=\phi (y+xy)$.

Développant le second membre suivant les puissances de $xy$, et divisant par $\phi y$, il vient

$\phi (1+x)=1+x.{\frac {y\phi 'y}{\phi y}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}\phi ''y}{\phi y}}+{\frac {x^{3}}{2.3}}-{\frac {y^{3}\phi '''y}{\phi y}}+etc.$

Les coefficiens ${\frac {y\phi 'y}{\phi y}},{\frac {y^{2}\phi ''y}{\phi y}},{\frac {y^{3}\phi '''y}{\phi y}},etc.$ doivent être indépendans de $y$, puisque cette variable n’entre pas dans $\phi (1+x)$ ; faisant donc ;

${\frac {y\phi 'y}{\phi y}}=c$;

on aura, par une suite de différentiations fort simples,

${\frac {y^{2}.\phi ''y}{\phi y}}=c.(c-1),{\frac {y^{3}.\phi '''y}{\phi y}}=c(c-1)(c-2),etc.$

Généralement, si l’on a

${\frac {y_{n}.\phi ^{(a)y}}{\phi y}}=b$

on en concluera $y^{a}.\phi ^{(n+1)}y+n.y^{a-1}.\phi ^{(a)}=b\phi y$ et en différentiant

$y^{n}.\phi ^{(n+1)}y+n.y^{a-1}.\phi ^{(a)}=b\phi 'y;$

1. Cet article est extrait des Leçons d’Analyse de M. Garnier, imprimées en 1801, et dans lesquelles M. Poisson l’avoit fait insérer. H. C.