vant les puissances de et de telle sorte que soient périodiques en et
Cela devrait avoir lieu pour les valeurs suffisamment petites de Or, parmi les valeurs de inférieures à une certaine limite, on peut toujours en trouver de telles que le rapport soit commensurable, puisque ce rapport est une fonction continue de
Or, si le rapport est commensurable, les séries (2) représentent une solution périodique des équations (1) et cela, quelles que soient les deux constantes d’intégration et .
Si les séries (2) convergeaient, à cette valeur commensurable de correspondrait une double infinité de solutions périodiques des équations (1).
Or nous avons vu au no 42 que cela ne peut avoir lieu que dans des cas très particuliers.
Il semble donc permis de conclure que les séries (2) ne convergent pas.
Toutefois le raisonnement qui précède ne suffit pas pour établir ce point avec une rigueur complète.
En effet, ce que nous avons démontré au no 42, c’est qu’il ne peut pas arriver que, pour toutes les valeurs de inférieures à une certaine limite, il y ait une double infinité de solutions périodiques, et il nous suffirait ici que cette double infinité existât pour une valeur de déterminée, différente de 0 et généralement très petite.
Ainsi nous aurions une infinité de solutions périodiques pour et pour et nous n’en aurions qu’un nombre fini (en ne regardant pas comme distinctes les solutions qu’on déduit les unes des autres en changeant en ) pour les valeurs de comprises entre 0 et
Il est très invraisemblable qu’il en soit ainsi, et cela suffit déjà pour rendre fort improbable la convergence des séries (2).
Mais il y a plus : il n’y aurait d’intérêt à constater la convergence des séries (2) que si cette convergence avait lieu pour une infinité de systèmes de valeurs des constantes de façon qu’on puisse toujours trouver un de ces systèmes qui diffère aussi peu que l’on veut d’un système de valeurs quelconque donné de ces
