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CHAPITRE XIII.

périodique des quantités que nous avons appelées

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n},\quad$

et l’on a d’ailleurs

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.$

$\varpi _{i}$ est une constante d’intégration et $n_{i}$ dépend de $\mu \,;$ si donc on fait $\mu =0,$ $n_{i}$ se réduit à $n_{i}^{0},$ puisqu’on a

$n_{i}=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\mu ^{2}n_{i}^{2}+\ldots$

Par conséquent, $w_{i}$ se réduit à $n_{i}^{0}t+\varpi _{i},$ et $x_{i}^{1}$ reste une fonction périodique des quantités $n_{i}^{0}t+\varpi _{i}.$

Donc $\xi _{i}^{1}$ ne contient pas de terme séculaire.

Pour obtenir $\xi _{i}^{1},$ il suffit de faire $\mu =0$ dans

${\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}+x_{i}^{2}.$

En raisonnant comme nous venons de le faire, on verrait qu’en faisant $\mu =0$ dans $x_{i}^{2}$ on n’y introduit pas de terme séculaire. On a, d’autre part,

${\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}=t\sum {\frac {dn_{k}}{d\mu }}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}},$

ou, pour $\mu =0$

${\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}=t\sum n_{k}^{i}\,{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\cdot$

On voit ainsi que l’expression de ${\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}$ contient des termes séculaires, mais il faut faire une distinction ; j’appellerai termes séculaires mixtes les termes de la forme

$t^{p}\sin \alpha t\quad \mathrm {ou} \quad t^{p}\cos \alpha t,$

et termes séculaires purs les termes de la forme $t^{p}.$

Je puis écrire

$\sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}=\mathrm {A} _{0}+\sum \mathrm {A} _{\alpha }\sin \alpha t+\sum \mathrm {B} _{\alpha }\cos \alpha t.$

En effet, le premier membre est une fonction périodique des $w$ et pour $\mu =0,$ on a $w_{i}=n_{i}^{0}t+\varpi _{i}.$ Si $\mathrm {A} _{0}$ est nui, l’expression $\xi _{i}^{2}$ ne