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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
et les seconds membres seront des fonctions connues et périodiques
des
et des
dont la valeur moyenne, par rapport aux
sera
nulle, puisque les équations (7)
sont satisfaites.
On pourra donc opérer l’intégration comme au numéro précédent
et au no 127, et l’on connaîtra
![{\displaystyle \Lambda _{1}-{\big [}\Lambda _{1}{\big ]},\quad \sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad \tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de86783db945736e8d792dc0c9828127d041842b)
comme nous savons que
se réduit à une constante et que cette
constante peut être choisie arbitrairement, nous pouvons regarder
comme entièrement connu.
Envisageons l’équation (6, 2, 1) dont le premier membre se
réduit
Comme le second membre ne contenait d’autre quantité
inconnue que
il devient une fonction connue des
et
des
et le procédé que nous venons d’appliquer nous donnera
![{\displaystyle \lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c82e6f9955d10cc3c675532cff3909cf9420d1)
Il faut maintenant déterminer
et
à l’aide des
équations (7, 3, 2) et (7, 4, 2). Le second membre de ces équations
n’est pas entièrement connu. Ils ne dépendent pas, en effet,
des
mais ils dépendent des
des
et des
Les
termes qui dépendent de ces quantités peuvent s’écrire :
1o Dans l’équation (7, 3, 2) par exemple,
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\Lambda _{0}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517d05ed9f7692af7e2ae7733ddc1a7f28320014)
Le premier terme est connu puisque
est connu. D’après la
forme de la fonction
donnée plus haut, toutes les dérivées
secondes sont nulles, sauf
Les deux derniers termes se réduiront
donc à
![{\displaystyle 2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}=-n_{i}'^{1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc13f1f027cb7da33e1ec7f9429b4f137ce6316)
Il y a, en outre, dans le second membre de (7, 3, 2), un terme
en
et, dans le second membre de (7, 4, 2), un terme
en
qui contiennent la quantité inconnue
Le second membre de (7, 3, 2) est donc égal à
plus
une fonction connue des
(et de
). De même, le second membre