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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.
Soit
![{\displaystyle \Delta u={\textstyle \sum }\,n_{k}^{0.0}{\frac {du}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265280053e9346806d4697cde1647699918fd189)
Nous retrouverons alors les équations (7), (8), (9), (10), (11),
(12), (13), (14) avec cette différence que les indices simples (supérieurs
ou inférieurs)
ou
seront remplacés par des
indices doubles
ou
et que les indices
simples 1 ou 0 seront remplacés par des indices doubles 1.0
ou 0.0
On se servira de ces équations comme dans le numéro précédent
pour déterminer successivement
et
par conséquent
et
On verrait, comme au no 153, que
et
sont développables
suivant les puissances de
![{\displaystyle \alpha _{k}\cos w_{k}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4652b69a1aa4c9b70c717d80b8a8d949d4537910)
et
![{\displaystyle \quad \alpha _{k}\sin w_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6da7ba7c6cd73303bc053ce1b9c03e5f808516)
Il en résulte que
et
sont des constantes.
D’autre part, il convient d’observer que la remarque du no 126,
en vertu de laquelle les valeurs moyennes de
et
peuvent
être choisies arbitrairement n’est applicable ici qu’avec certaines
restrictions.
Reprenons en effet le raisonnement du no 126 ; considérons le
développement de
et de
selon les puissances de
et des
Changeons-y
et
en
![{\displaystyle \alpha _{i}(1+\varphi _{i}),\quad w_{i}+\psi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac7b12ccc23a790d26ed85db6901a6e81febcb0)
et
étant deux fonctions développables suivant les puissances
de
et des
et se réduisant à 0 quand ces quantités s’annulent.
Les valeurs des
ne seront pas modifiées par ce changement.
Il en résulte que les valeurs moyennes des
![{\displaystyle x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q}\quad (p>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59f7d870216177b76f313cb3598abfe90877b3f)
peuvent être choisies arbitrairement, mais qu’il n’en est pas de
même de celles des
![{\displaystyle x_{i}^{0.q},\quad y_{i}^{0.q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314ac95a5145a57276e4d5c89ccbf3c742797be4)
On voit d’ailleurs aisément que ces dernières valeurs moyennes
doivent être nulles.