Le choix de la variable tout en présentant des avantages évidents, n’est pas non plus sans inconvénient.
En effet, le Problème des trois Corps se présente sous deux formes bien différentes suivant que l’on a affaire à deux planètes dont les masses sont comparables, ou, au contraire, si l’une des deux est beaucoup plus petite que l’autre.
Dans le premier cas, il faudrait rapporter l’une des planètes à la variable indépendante et l’autre à la variable indépendante analogue mais différente et définie par l’équation
étant le rayon vecteur de la seconde planète.
Ce serait là une source de complications ; aussi la méthode de M. Gyldén sous sa forme primitive est-elle plutôt faite pour le second cas, par exemple, pour l’étude des perturbations des petites planètes par Jupiter.
Mais ici encore il y a des difficultés.
Le mouvement de Jupiter est connu, mais il l’est en fonction de et non pas de pour passer de l’expression en fonction de à l’expression en fonction de il faut y remplacer par sa valeur en fonction de tirée de l’équation (4). Cette expression de en fonction de variera à chaque approximation ; il faudra donc à chaque fois corriger les coordonnées de Jupiter. Ces inconvénients sont en partie compensés par des avantages importants. Un autre inconvénient, c’est que nos équations ont perdu la forme des équations de Lagrange ; mais nous ne tarderons pas à la retrouver.
168.Voici maintenant sous quelle forme se présentent les équations du mouvement.
Les coordonnées et de la première planète sont exprimées en fonctions de par les équations (5) et (6), dont les premiers membres ont la forme simple
et dont les seconds membres dépendent non seulement de et
