Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/229

215

MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

raître le signe $\textstyle \int ,$ deviendrait du troisième ordre. Mais M. Gyldén la réduit au second ordre, en profitant de la petitesse du nombre $\alpha$ et en employant un procédé analogue dans son esprit à celui que nous venons d’appliquer à des exemples plus simples.

En effet, $\rho$ et $\alpha$ sont du premier ordre, de sorte que le terme

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

peut être regardé comme du second ordre. Ou aura alors, en négligeant les quantités du troisième ordre,

$\alpha \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\alpha \rho =\alpha ^{2}\mathrm {A} ,$

d’où

(7)

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\alpha ^{2}\mathrm {B} \int \mathrm {AC} \,dv-\alpha \,\mathrm {B} \int {\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\,\mathrm {C} \,dv,$

et en intégrant par parties et appelant $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {C} ''$ les dérivées de $\mathrm {C}$ par rapport à $v$

$\int {\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\,\mathrm {C} \,dv=\mathrm {C} \,{\frac {d\rho }{dv}}-\mathrm {C} '\rho +\int \rho \,\mathrm {C} ''\,dv.$

En général, la quadrature $\textstyle \int \mathrm {AC} \,dv$ pourra s’effectuer aisément, de sorte que

$\mathrm {B} \int \mathrm {AC} \,dv=\mathrm {D}$

pourra être regardé comme une fonction connue de $v$ et que l’intégrale $\textstyle \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$ sera ramenée à l’intégrale $\textstyle \int \rho \,\mathrm {C} ''$ qui est de même forme.

En général, dans les exemples que M. Gyldén a eu à traiter, $\mathrm {C}$ est de la forme

$\mathrm {C} =\beta \sin(\lambda v+\mu ),$

$\beta ,\,\lambda$ et $\mu$ étant des constantes. Il en résulte que

$\mathrm {C} ''=-\lambda ^{2}\mathrm {C} ,$

d’où

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\alpha ^{2}\mathrm {D} -\alpha \,\mathrm {BC} \,{\frac {d\rho }{dv}}+\alpha \,\mathrm {BC} '\rho +\lambda ^{2}\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv,$