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CHAPITRE XVII.

Tous les autres points de l’axe des $q$ appartiennent à la première région, celle où $h$ est réel.

Reprenons alors l’équation

$\cos h\pi =\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-q_{1}^{4}\mathrm {F} _{4}(\pi )-\ldots =0,$

qui lie $h$ à $q$ et à $q_{1}\,;$ le premier membre s’annule pour $h=q,$ $q_{1}=0\,;$ il est développable suivant les puissances croissantes de $h-q$ et de $q_{1}^{2}\,;$ enfin sa dérivée par rapport à $h$ se réduit à $-\pi \sin q\pi$ pour $h=q,$ $q_{1}=0,$ et par conséquent ne s’annule pas à moins que $q$ ne soit entier. Si donc nous supposons que $q$ n’est pas entier, le théorème du n^o 30 nous apprend que $h$ est développable suivant les puissances croissantes de $q_{1}^{2}$ et que la série est convergente pourvu que $q_{1}$ soit assez petit.

Voyons maintenant ce qui se passe quand $q$ est entier. M. Tisserand, en appliquant sa formule, a trouvé : pour $|q|\geq 3$

$\cos h\pi =(-1)^{q}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{512q^{2}(1-q^{2})^{2}}}q_{1}^{4}+\ldots \right],$

pour $|q|=2$

$\cos h\pi =1+{\frac {5\pi ^{2}q_{1}^{4}}{73728}}+\ldots ,$

pour $|q|=1$

$\cos h\pi =-1-{\frac {\pi ^{2}q_{1}^{2}}{32}}-\ldots ,$

et enfin pour $|q|=0$

$\cos h\pi =1-{\frac {\pi ^{2}q_{1}^{2}}{16}}+\ldots .$

En effet, quand $q$ est entier, $\cos q\pi$ devient égal à $\pm 1,$ et $\sin q\pi$ s’annule ; mais il arrive en même temps que $\varphi _{1}(q,q_{1})$ devient infini ; de sorte que le produit

$\sin q\pi \,\varphi _{1}(q,q_{1}),$

tend vers une valeur finie quand $q$ tend vers un nombre entier. Considérons alors la limite

$\mathrm {L} =\lim \sin q\pi \,\varphi _{1}(q,q_{1}),$

quand $q$ tend vers une valeur entière.

Cette limite sera développable suivant les puissances de $q_{1}^{2}\,;$ mais,