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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

et son développement suivant les puissances de $q-n$ et de $q_{1}$ commence par des termes du second degré

$\mathrm {A} (q-n)^{2}+\mathrm {B} \,q_{1}^{2}.$

Si $|n|=1,$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de signe différent et les deux branches de courbe qui passent par le point double sont réelles.

Si $|n|>1,$ $\mathrm {B}$ est nul, les deux branches de courbe sont tangentes (et probablement osculatrices) l’une à l’autre ; pour décider si elles sont réelles, il faut employer le procédé indirect dont j’ai parlé plus haut.

Voici en quoi il consiste.

On peut se demander ce qui se passe quand on a

$\mathrm {F} (\pi )=\cos h\pi =\pm 1.$

Alors, d’après ce que nous avons vu au n^o 29, la solution la plus générale de l’équation (1) est de la forme

$\psi (t)+t\,\psi _{1}(t),$

$\psi (t)$ et $\psi _{1}(t)$ étant des fonctions périodiques de $t,$ de période $\pi$ si $\mathrm {F} (\pi )=+1,$ et de période $2\pi$ si $\mathrm {F} (\pi )=-1$ (elles changent alors de signe quand $t$ se change en $t+\pi$). On a donc

$\mathrm {F} (t)=\psi (t)+t\,\psi _{1}(t).$

Si $\psi _{1}(t)$ n’est pas nul, c’est une solution de l’équation (1) ; or, $\mathrm {F} (t)$ est une fonction paire ; donc $\psi (t)$ est paire et $\psi _{1}(t)$ impaire ; donc $\psi _{1}(t)$ se réduit à un facteur constant près à $f(t)\,;$ alors $f(t)$ est périodique.

Si $\psi _{1}(t)$ est identiquement nul, $\mathrm {F} (t)$ est périodique.

Trois cas peuvent donc se présenter :

1^o Ou bien $\mathrm {F} (t)$ est périodique, et alors

$\mathrm {F} '(\pi )=0.$

2^o Ou bien $f(t)$ est périodique, et alors

$f(\pi )=0.$

3^o Ou bien ces deux fonctions sont périodiques toutes deux, et alors

$\mathrm {F} '(\pi )=f(\pi )=0.$