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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

de déterminer les constantes

$\mathrm {A} _{n}^{i+1}\quad$ et $\quad \mathrm {B} _{n}^{i+1},$

quand on connaît les $\mathrm {A} _{n}^{i}$ et les $\mathrm {B} _{n}^{i}.$

Méthode de M. Gyldén.

182.M. Picard a démontré le théorème suivant :

Si une équation linéaire a pour coefficients des fonctions doublement périodiques et si son intégrale générale n’a d’autre singularité que des pôles, cette intégrale s’exprime à l’aide des « fonctions doublement périodiques de deuxième espèce », c’est-à-dire des fonctions qui se reproduisent multipliées par un facteur constant quand la variable augmente d’une période.

L’importance de ce théorème provient des deux circonstances suivantes :

1^o Il est toujours facile de reconnaître sur l’équation même si l’intégrale générale n’a d’autre singularité que des pôles ;

2^o Toute fonction doublement périodique de deuxième espèce s’exprime simplement à l’aide des fonctions $\theta$ de Jacobi ou des fonctions $\sigma$ de M. Weierstrass.

M. Gyldén a eu l’idée ingénieuse d’appliquer ce théorème à l’intégration de l’équation (1). Mais il serait injuste de présenter les choses sous cette forme sans citer le nom de M. Hermite. Ce que M. Gyldén a appliqué en réalité, c’est un théorème de M. Hermite sur l’équation de Lamé, qui n’est à la vérité qu’un cas particulier de celui de M. Picard, mais qui lui est notablement antérieur.

Notre équation (1) peut s’écrire

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(a+b\cos ^{2}t)x,$

en posant

${\begin{aligned}a&=-q^{2}+{\frac {q_{1}}{2}},&b&={\frac {q_{1}}{2}}\cdot \end{aligned}}$

Considérons la fonction

$\cos amt=cnt\quad (\mathrm {mod} \;k$).