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CALCUL FORMEL.
les
dépendant de
et de
Je suppose que cette égalité ait lieu
uniformément. Je veux dire que l’expression
![{\displaystyle {\frac {\varphi -\varphi _{p}}{\mu ^{p}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afa45b37b58bf959bd1a936a4eda48689117b8c)
où
désigne la somme des
premiers termes de la série,
tend uniformément vers 0 quel que soit
quand
tend vers 0 ;
c’est-à-dire qu’on peut trouver un nombre
indépendant de
dépendant seulement de
et s’annulant avec
tel que
![{\displaystyle |\varphi -\varphi _{p}|<\mu ^{p}\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307cb9901ddb52172f2fd81f7afb6baa77c045a3)
On aura alors
![{\displaystyle \left|\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\varphi -\varphi _{p})\,dt\right|<\mu ^{p}\varepsilon (t_{1}-t_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7cf54b8c3e1e7cfdaf02204a7cedc4cb99cf4c)
ce qui montre qu’on aura l’égalité asymptotique
![{\displaystyle \int \varphi \,dt\equiv \int f_{0}\,dt+\mu \int f_{1}\,dt+\mu ^{2}\int f_{2}\,dt+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb47d2fd6b04fdf1b33090cc65ee1581e042f5f)
On a donc le droit d’intégrer une égalité asymptotique. Au
contraire, on n’aurait pas en général le droit de la différentier. Il
est cependant un cas où les principes qui précèdent nous permettent
de le faire.
Soit
une solution d’une équation différentielle et
une
série qui satisfait formellement à cette équation.
On aura asymptotiquement
![{\displaystyle \varphi (t,\mu )\equiv \mathrm {S} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c39b6d33ef7bc1d8a075bc7ff4de32c7be81bf3)
Soit
la série obtenue en différentiant chaque terme de
D’après le numéro précédent, cette série satisfait formellement
à l’équation différentielle à laquelle satisfait effectivement la
dérivée
On aura donc l’égalité asymptotique
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}\equiv \mathrm {S} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd39c814a14df77f941f78fed3bea4e9098bca4)