Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/286

272

CHAPITRE XVII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

J’ai démontré dans le Bulletin de la Société mathématique de France que, si une fonction $\varphi (x)$ est de genre 1, on aura

$\lim \varphi (x)e^{-\alpha x^{2}}=0,$

si $x$ tend vers l’infini avec un argument déterminé et de telle sorte que $e^{-\alpha x^{2}}$ tende vers zéro.

Si donc $\alpha$ et $t$ sont réels positifs, on aura

$\lim \mathrm {F} (t^{3})e^{-\alpha t^{2}}=0.$

Quand on fera varier $y$ de $-1$ à $+1,$ le premier membre tendra vers sa limite uniformément, d’où cette conséquence ; on pourra trouver deux nombres positifs $\alpha$ et $\mathrm {K}$ tels que

$\left|\nabla (y+ix)\right|<\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!x^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}},$

en faisant $y+ix=z$ et remarquant que

$|x|<|z|$

il viendra

$\left|\nabla (z)\right|<\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!z^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}}.$

Considérons maintenant le développement de $\nabla (z)$

$\nabla (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{n}z^{n},$

il viendra

$2i\pi \,\mathrm {C} _{n}=\int {\frac {\nabla (z)\,dz}{z^{n+1}}},$

l’intégrale étant prise le long d’un cercle de rayon quelconque ayant pour centre l’origine.

On en conclut

$\left|\mathrm {C} _{n}\right|<{\frac {\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!z^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}}}{\left|z^{n}\right|}},$

et cela quel que soit $|z|.$ Or le minimum de

$e^{\alpha z^{\frac {4}{3}}}z^{-n}$

est

$e^{\frac {3n}{4}}\left({\frac {3n}{4\alpha }}\right)^{-{\frac {3n}{4}}}$