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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Il faut toujours avoir recours au théorème de M. Hadamard pour démontrer qu’elle est en outre indépendante de $q^{2}$ et de $q_{1}.$

Extension des résultats précédents.

189.Toutes ces méthodes, sauf celle de M. Gyldén, s’appliquent à toute équation de la forme

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\varphi (t)=0,$

où $\varphi (t)$ est une fonction périodique de $t,$ développable par conséquent en série trigonométrique.

Il n’y aurait à faire que des changements de détail que le lecteur pourra faire sans peine s’il veut traiter de cette manière une équation de la forme (1). La plupart des résultats sont encore vrais ; quelques-uns cependant ne le sont que si la fonction $\varphi$ est paire.

M. Gyldén, voulant rendre son procédé applicable à l’équation (1), a imaginé une méthode ingénieuse de tâtonnement sur laquelle je ne juge pas utile d’insister, car il n’a eu que rarement l’occasion d’en faire usage.

Supposons maintenant que la fonction φ(t) ne soit pas périodique, mais soit de la forme

$\varphi (t)=1+\mu \,\psi (t),$

$\mu$ étant un coefficient numérique très petit, et $\psi (t)$ étant la somme de $n$ termes de la forme

$\mathrm {A} _{i}\sin(\alpha _{i}t+\beta _{i}),$

de sorte que

$\psi (t)=\sum _{i=1}^{i=n}\mathrm {A} _{i}\sin(\alpha _{i}t+\beta _{i}).$

Les $\mathrm {A} _{i},$ les $\alpha _{i}$ et les $\beta _{i}$ sont des constantes ; mais les $\alpha _{i}$ ne sont pas commensurables entre eux, sans quoi la fonction serait périodique.

Dans ce cas, les procédés précédents sont encore applicables, mais les séries auxquelles on parvient ainsi, et qu’on peut ordonner