Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/301

287

CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

qu’il pourrait paraître naturel d’envisager, puisqu’elle s’obtient en faisant dans les deux membres de (2)

${\begin{aligned}\beta &=\beta _{2},&\gamma &=\gamma _{2}\end{aligned}}$

et dans le second membre

$x=\xi _{1}\,;$

au lieu de cette équation, dis-je, nous envisagerons la suivante

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=\psi _{1}'.$

En effet $h_{2}$ diffère très peu de $h_{1},$ de sorte que la différence $\psi _{1}-\psi _{1}'$ est bien de l’ordre des termes que nous négligeons. Considérons une solution quelconque de cette équation (3). Comme $x_{1}^{(2)}$ et $x_{2}^{(2)}$ diffèrent peu de $x_{1}^{(1)}$ et $x_{2}^{(1)}$ et $\psi _{1}'$ de $\psi _{1},$ les termes tout connus de

$x_{1}^{(2)}\psi _{1}'$et$x_{2}^{(2)}\psi _{1}'$

différeront peu de ceux de

$x_{1}^{(1)}\psi _{1}$et$x_{2}^{(2)}\psi _{1},$

qui sont nuls ; ils seront donc très petits ; donc, dans la solution envisagée de l’équation (3), les termes séculaires seront très petits et nous pourrons les négliger ; j’appellerai alors $\xi _{2},$ non pas la solution de l’équation (3) elle-même, mais ce que devient cette solution quand on en a retranché ces termes séculaires.

Soit alors

$\psi _{2}=\beta _{2}\xi _{2}+\gamma _{3}\xi _{2}\cos 2t+\alpha \varphi (\xi _{2},t).$

Nous déterminerons β₂ et γ₃ de telle façon que les termes tout connus de

$x_{1}^{(2)}\psi _{2}$et$x_{2}^{(2)}\psi _{2}$

soient nuls.

Formons maintenant l’équation

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{3})\cos 2t\right]=0.$

Soient $x_{1}^{(3)}$ et $x_{2}^{(3)}$ deux solutions de cette équation et $h_{3}$ la valeur correspondante de $h.$