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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

4^o L’expression

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}-{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'$

sera une différentielle exacte.

On aura évidemment

(3)

$\mathrm {F} _{0}(x_{i},y_{i})=\mathrm {const.} ,$

c’est-à-dire que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que des constantes d’intégration $x_{i}'.$

On se rappelle le théorème du n^o 4, qui pourrait d’ailleurs s’énoncer ainsi.

Quand on fait un changement de variables, en passant d’un système de variables conjuguées $(x_{i},y_{i})$ à un autre système de variables conjuguées $(x_{i}',y_{i}')$ la condition pour que la forme canonique ne soit pas altérée, c’est que l’expression

${\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'-{\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}$

soit une différentielle exacte.

Il en résulte que, si dans le cas qui nous occupe, nous prenons pour variables nouvelles $x_{i}'$ et $y_{i}',$ les équations (1) conserveront leur forme canonique et deviendront

(5)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}$

Il est évident :

1^o Que $\mathrm {F}$ sera périodique par rapport aux $y_{i}'\,;$

2^o Que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que des $x_{i}',$ à cause de l’équation (3).

Les équations (5) satisfont donc aux conditions des n^os 125 et 127 et il en résulte qu’on pourra y satisfaire formellement de la manière suivante :

Les $x_{i}'$ et les $y_{i}'$ seront développables suivant les puissances de $\mu ,$ sous la forme

${\begin{alignedat}{5}x_{i}'&=x_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}'&=y_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,y_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}$

Les $x_{i}'^{k}$ et les $y_{i}'^{k}$ seront des fonctions de $n$ constantes d’intégrations et de $n$ arguments

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}',$